Гомоморфизмы и конгруэнции игр с отношениями предпочтения

• Автор: Савина, Татьяна Федоровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 139 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Структурные теоремы о гомоморфизмах

игр с отношениями предпочтения

1.1. Структуры предпочтений

1.2. Гомоморфизмы структур предпочтений

1.3. Игры с отношениями предпочтения. Основные понятия

1.4. Теоремы о гомоморфизмах игр

с отношениями предпочтения

1.5. Вложения игры с отношениями предпочтения в игру

с функциями выигрыша
Глава 2. Оптимальные решения в играх
с отношениями предпочтения
2.1. Ситуации равновесия и допустимые исходы в антагонистических играх с отношениями предпочтения
2.2. Оптимальные решения игр с отношениями предпочтения общего вида
2.3. Ковариаитные и контравариантные гомоморфизмы игр
с отношениями предпочтения
Глава 3. Коалиционные гомоморфизмы игр
с отношениями предпочтения
3.1. Правила согласования предпочтений игроков
3.2. Коалиционные принципы оптимальности
3.3. Определение коалиционного гомоморфизма
3.4. Теоремы о коалиционных гомоморфизмах
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
1. В классической теории принятия решений и в теории игр основным способом формализации целевой структуры является задание целевой функции (функции выигрыша). При этом цель отождествляется с максимизацией или минимизацией этой функции в зависимости от ее содержания с точки зрения лица, принимающего решение. В прикладных задачах физического или технического содержания целевая функция иногда получается внешним образом или из теоретических соображений. Однако при построении целевой функции в реальных моделях принятия решений возникает ряд сложностей как принципиального, так и технического характера.
Как. известно, на практике объекты (состояния, ситуации) обычно оцениваются по нескольким показателям (критериям) качества. В литературе по принятию решений для оценки объекта используется «дерево критериев», что отражает иерархическую структуру подчиненности критериев. При таком подходе набор критериев должен обладать следующими свойствами (см. Мендель [22]).
Полнота. Набор критериев должен содержать критерии, позволяющие охарактеризовать все основные аспекты оценки объекта.
Действенность (операционность). Критерии должны быть однозначно понимаемыми и способствовать выработке и принятию эффективных решений.
Разложимость. Возможность разбиения критериев на более мелкие группы.
Неизбыточностъ. Исключение возможности дублирования критериев.
Минимальная размерность. В набор критериев для оценки объекта должны быть включены только те, без которых адекватная оценка невозможна.
При составлении математических моделей принятия решения используется система многокритериального оценивания, причем для каждого критерия должна быть задана некоторая шкала измерения.
Целевая функция представляет собой единый (интегральный) показатель эффективности, поэтому для ее задания необходимо «свернуть»

все имеющиеся критерии в один. На практике эта задача решается разными способами. Например, каждому показателю приписывают некоторый «вес», выражающий значимость этого показателя, и рассматривают в качестве оценки объекта взвешенную сумму. Однако в практических ситуациях выбор «весов» осуществить достаточно сложно. «Вес» должен быть постоянным для каждого показателя, но, как правило, невозможно заранее указать, во сколько раз один показатель важнее другого. В настоящее время проблема «свертывания» векторного критерия в скалярный превратилась в самостоятельное направление, по которому имеется обширная литература (см. например, [20, 27, 37]). Один из способов решения данной задачи — лексикографическое упорядочение. Критерии (показатели) в этом способе должны быть упорядочены по относительной важности (например, см. [34]), В работе [40] выяснена возможность построения единого (обобщенного) критерия на базе некоторой дополнительной информации об относительной важности этих критериев для лица, принимающего решение. В качестве такой информации выступает задание в рассматриваемой области карты безразличии или равносильная информация — задание локального коэффициента замещения.
В связи с указанными сложностями при построении целевых функций возник альтернативный подход, состоящий в том, что объекты оцениваются не с помощью числовой функции, а по отношению предпочтения. В этом случае при построении модели принятия решения надо задать отношение предпочтения (или структуру «доминирование-безразличие») на множестве объектов, а именно указать совокупность всех пар объектов, в которых один объект предпочтительнее другого для принимающего решение.
На'практике используются следующие основные способы выявления предпочтений на множестве объектов.
Мет.од попарных сравнений.
В некоторых случаях этот метод реализуется на базе субъективных представлений индивидуума об исследуемых объектах. А именно, для каждой пары объектов индивидуум должен указать более
структуру предпочтений (В,аг), т.е. выполняются следующие условия:
Яеиі:
Яєу2: ф(аі) ф чр(а2)
0(аі) < 'ф{а2) => аі < а2, (1.23)
-0(аі) ~ Ф(а2) => Оі ~ а2; (1-24)
• взаимным, если для каждого г € ./V отображение чр является взаимным гомоморфизмом структуры предпочтений {А, Рг) на структуру предпочтений (в,(ц)
• точным, если для каждого г € N отображение гр является точным гомоморфизмом структуры предпочтений (А, рр) в структуру предпочтений (В,(7{).
Далее, для гомоморфизмов игр имеет место диаграмма подклассов гомоморфизмов, представленная на странице 22.
1.3.2. Для игры с отношениями предпочтения введем понятие конгруэнции — центральное понятие данной работы.
Определение 1.7. Набор эквивалентностей е = е), где
сг с Х (г € Щ, е С А2, называется конгруэнцией в игре С, если для него выполнено условие согласованности, которое имеет следующий вид:
Далее нам потребуются конгруэнции некоторых специальных типов.
Определение 1.8. Конгруэнция е в игре (3 называется вВ-конгруэнцией, если для каждого г еЛ выполняется дополнительное условие:
Х2 =» Р{х'ъ ,хп) - ,хп). (1-25)