Сингулярные интегральные уравнения в задачах дифракции на неоднородных телах

• Автор: Капустин, Юрий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 93 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава 1. Дифференциальная и интегральная формулировки
задач дифракции
§1. Интегро-дифференциальное уравнение
§2. Система сингулярных интегральных уравнений
§3. Интегральные уравнения двумерных задач и задач на периодических структурах
§4. Эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок
Глава 2. Исследование системы сингулярных интегральных уравнений задач дифракции
§1. Продолжение оператора основной системы в
§2. Теорема существования и единственности
Г лава 3. Численный метод решения задач дифракции
§1. Метод коллокации
§2. Итерационный метод решения с.л.а.у
§3. Тестирование алгоритма и некоторые численные результаты
Иллюстрации
Литература

Введение
Задачи дифракции электромагнитных волн на рассеивателях с конечной проводимостью имеют широкий диапазон применений в радиолокации, антенной технике, физике плазмы и в других областях. В качестве примера можно привести задачи проектирования диэлектрических антенн, обладающих специальными диаграммами рассеяния. Задача дифракции на неоднородном теле произвольной формы имеет прямое применение при изучении влияния электромагнитного излучения на биологические объекты. Решения задач дифракции на неоднородных анизотропных объектах могут быть использованы при исследовании характеристик атмосферных плазменных образований. В связи с этим важное значение приобретает разработка математических моделей задач дифракции и эффективных численных методов их решения.
Точное решение задачи, представляющее рассеянное поле во всем пространстве в аналитическом виде, удается получить только для весьма узкого класса объектов. Один из первых результатов представлен в работе [1], где рассматривается двумерная задача возбуждения диэлектрического цилиндра круглого сечения плоской волной. Решение находится методом разделения переменных и представляет собой ряд по тригонометрическим и цилиндрическим функциям (ряд Рэлея), который сходится при всех значениях к0К, где к0 = 2л:/Л -волновое число, Л - длина падающей волны, Я - радиус цилиндра. Если к0Я «1, то ряд сходится достаточно быстро. При к0Я» 1 сходимость ряда может быть улучшена при помощи преобразования Ватсона [2]. В резонансном случае (т.е. для цилиндров с диаметром порядка длины волны) ряд Рэлея сходится плохо, и для его суммирования необходимо применять специальные методы [3]. Методом разделения переменных получено решение для диэлектрического шара [4] и некоторых других тел простой формы. В отдельных случаях этим методом можно получить точные решения и для более сложных конфигураций рассеивателя.
Для большинства задач дифракции получить решение в аналитическом виде не удается, и требуется применение численных методов. Диапазон частот, в котором рассматривается задача, определяет выбор численного метода для ее решения. В задачах, где характерные размеры много больше длины падающей волны (коротковолновый диапазон), находят успешное применение асимптотические методы [5]. Для резонансного и квазистатического диапазонов длин волн разработан ряд методов, учитывающих специфику решаемых задач (поведение параметров среды, геометрия тела) и допускающих эффективную

численную реализацию. Наиболее характерными для решения задач дифракции рассматриваемого диапазона длин волн являются проекционные методы и методы интегральных уравнений.
Проекционные методы типа метода Галеркина находят применение для численного решения как трехмерных, так и двумерных задач дифракции на локально-неоднородных телах [6,7,8]. В отличие от интегральных уравнений, при использовании проекционных методов приходится предпринимать специальные меры к тому, чтобы обеспечить выполнение приближенным решением условий излучения, которые могут быть сформулированы в виде требования отсутствия волн, приходящих из бесконечности. Обычно эти условия формулируются в парциальной форме [9]: решение вне сферы, заключающей в себе неоднородность, представляется в виде суперпозиции расходящихся сферических волн с неизвестными коэффициентами.
Достаточно эффективным оказался неполный метод Галеркина, в котором исходная задача сводится к краевой задаче для конечной системы обыкновенных дифференциальных уравнений [6]. Будем считать для простоты, что область неоднородности <2 представляет собой шар радиуса г0. В этом случае парциальные условия излучения задаются на поверхности сферы , а областью решения задачи является шаровой слой, заключенный между концентрическими сферами радиусов г и 7?0. При каждом значении г0 <г< К,, решение представляется в виде конечной линейной комбинации по полной системе функций, зависящих от координат в и ср :
где 2к{г) - подлежащие определению коэффициенты. Для их нахождения используются проекционные соотношения ортогональности
системой. Часто в качестве внешней системы берут функции, сопряженные к %к. Подставляя выражения для и,, в проекционные соотношения ортогональности, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений относительно
и„(г,в,<р)=гк(г)хк(Є,<р)

где у/к(в,(р) - некоторая полная на система функций, называемая внешней

(х, у) = -к2Лр{г) - оОг)
дх.дх.
0(х,у) = -—0,Лг)
дх.дх
, 1 7 <
(с/ = 2, 3)

){х,у) = 0,(х,у С(х,у)=С,(х,у), 4 < i,j <
С](х,у)
д0 к-ОХ;

-/<ш0—, 4 < у <

{(1 = 2,3)
(10)
В приведенных выше выражениях /’=/'- 3, /'= / - 3. В тех случаях, когда индексы не принимают указанных значений в выражениях для (х), Д, (х), у,(х), С<о)(х,.у), С«(*,.у), считаем эти функции тождественно равными нулю, так что матрицы размера 6x6, элементами которых являются перечисленные функции, имеют блочно-диагональную структуру.
Пользуясь введенными обозначениями, запишем выражение для координат образа оператора Д, основной системы (*) при его действии на произвольный вектор М = {Е,, Е2, Ег, 77,, Н2, Н3 }е Ь2 (£)):
(Д)М), (х) = Е а,„ (х)ЛД (х)+Е| (3„т (у)Мт {уУз1] (х, у)с1у +
п п, т Q
+Е у-р] Рпт шт (уУх{ь(х, уУ*у+
п,т «2
+Е1 к* О’ХЛ (*, >0 - Гь, 0;Хд (*, зОН, (уХ

В последнем слагаемом индексы I, р, к получаются циклической перестановкой троек чисел (1,2,3) и (4,5,б). Заметим, что, согласно (9), в двумерном случае выражение (11) не содержит сингулярных интегралов при 1 = 3,6. Запишем систему (*) в операторном виде:
Дм = м(0), М(0)еЬ2(б).
(12)
Справедливо следующее