Алгоритмы статистического моделирования для решения системы уравнений Смолуховского

• Автор: Колодко, Анастасия Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 93 с.

Содержание
Введение
1. Стохастические модели процесса коагуляции и система уравнений Смолуховского
1.1. Обзор методов решения уравнений Смолуховского
1.1.1. Метод прямого статистического моделирования (метод типа Берда)
1.1.2. Весовой метод
1.1.3. Метод типа Нанбу
1.2. Метод типа Нанбу для уравнений Смолуховского с учетом процесса дробления
1.2.1. Описание метода
1.2.2. Исследование сходимости метода
1.2.3. Обобщение на случай уравнений с постоянным источником мономеров
1.3. Решение уравнений Смолуховского со случайными коэффициентами
1.4. Решение пространственно неоднородных уравнений Смолуховского
1.4.1. Случай постоянного источника мономеров
1.4.2. Случайное поле скоростей
2. Численные результаты
2.1. Сравнительный анализ эффективности стохастических методов решения уравнений Смолуховского
2.2. Статистическая структура решения уравнений Смолуховского со случайными коэффициентами
2.3. Процесс коагуляции в развитом турбулентном потоке
2.3.1. Постановка задачи
2.3.2. Модель поля скоростей
2.3.3. Случай однородного начального распределения

2.3.4. Случай линейных начальных условий
Заключение
Литература

Введение
Модели процессов коагуляции, основанные на использовании кинетических уравнений Смолуховского, широко используются для изучения процессов, происходящих в различных дисперсных средах. Область их применения включает в себя большое количество различных отраслей науки: физику, химию (изучение процессов полимеризации [50]), медицину, биологию, астрономию (исследование образования звезд и планет). Особенно активно уравнения коагуляции Смолуховского используются при исследовании атмосферных явлений, связанных с формированием аэрозолей: изучение процесса образования облаков и осадков, анализ различных загрязнений (пыли, смога и др.) [19, 17, 18, 45, 8, 26].
В основе этих моделей лежит следующая достаточно простая схема поведения частиц. Предполагается, что каждая частица имеет некоторый размер: содержит определенное число структурных единиц. Частицы перемещаются в пространстве за счет движения содержащей их среды и броуновского движения. Оказавшись в достаточной близости, частицы сталкиваются, образуя с некоторой вероятностью частицу, размер которой равен сумме их размеров. Кроме того, частица размера I может распасться на частицы размера г и } так, что i-- j — I.
Уравнения Смолуховского описывают поведение концентрации частиц различных размеров и выглядят следующим образом [16, 3, 24]:
дщи.х)

- (КцЩЩ - ЛцЩ+х) + г>
дщх) +г>д . ужщ(г,т) = дд,.п/(*,ж)+
X) {Кцщп$ - Щт) - {Кцщщ - Яцпш) + /'К*,®), I > 2;
2 г+=1 г>х
(0.0.1)
щ(0, ж) = п°х), I > 1. (0.0.2)
Здесь гг; (С х) - концентрация частиц размера /; у,х) - скорость движе-

Согласно первому утверждению теоремы, для всех значений N > N имеют место неравенства:
Prob Сах N,a) - а) > |) < fc = 0,. -., К;
ЯГ‘ек-, N,а) - n,(tt;Q)| < |) > 1 - |, = 0
Prob max

С*2 — С*2(о:, К, &maxj minj max; min)
Тогда для всех N > N неравенства (1.2.68)-(1.2.69) могут быть представлены в виде:
-- < Pi +Р3 <
3 _ 1 -г з _ 3,
М*Ь'> ») - о 1 _ Q °0 + о-
Заметим, что в силу (1.2.14) и (1.2.16)
(1.2.70)
ni(tk; а) - (l - ï) > a)-S
37 3 3 V 37 - n tb 3 '
(1.2.71)
Таким образом, используя (1.2.67) и (1.2.70)-(1.2.71), получим:

-5 < Е
откуда следует справедливость утверждения теоремы.

Доказательство (леммы 2.4).
В силу (1.2.54)
Prob max
l<2k+'La
ти г

'TV/(f
r > Är+Ь

>e < EPrîi + Pri4 + Pr{5; 7 »
Prî- = Prob ( max
i<2*+1i0
Prb = Prob max
П l<2k+1Lo

* = 1,2,3;

>6.1’ i = 4>5'
(1.2.72)
Обозначим