Каскадные итерационные алгоритмы в методе конечных элементов для эллиптических краевых задач

• Автор: Гилева, Лидия Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 150 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Решение двумерных задач
1.1. Решение слабонелинейной задачи
1.1.1. Формулировка дифференциальной задачи
1.1.2. Формулировка дискретной задачи
1.1.3. Формулировка каскадного алгоритма
1.1.4. Вспомогательные оценки
1.1.5. Доказательство сходимости каскадного алгоритма
1.2. Решение задачи со знакопеременным спектром
1.2.1. Формулировка дифференциальной задачи
1.2.2. Формулировка дискретной задачи
1.2.3. Формулировка каскадного алгоритма
1.2.4. Вспомогательный оператор
1.2.5. Доказательство сходимости каскадного алгоритма
1.2.6. Оптимизация числа итераций
1.3. Решение задачи плоской теории упругости
1.3.1. Формулировка дифференциальной задачи
1.3.2. Формулировка дискретной задачи
1.3.3. Формулировка каскадного алгоритма
1.3.4. Доказательство сходимости каскадного алгоритма
1.3.5. Оптимизация числа итераций

Глава 2. Решение трехмерной задачи
2.1. Каскадный алгоритм для задачи в многограннике
2.1.1. Формулировка дифференциальной задачи
2.1.2. Формулировка дискретной задачи
2.1.3. Формулировка каскадного алгоритма
2.1.4. Доказательство сходимости каскадного алгоритма
2.1.5. Оптимизация числа итераций
2.2. Обоснование асимптотической устойчивости алгоритма триангуляции трехмерной области
2.2.1. Алгоритм дробления триангуляции
2.2.2. Критерии качества триангуляции
2.2.3. Оценка изменения качества триангуляции в процессе дробления
2.3. Каскадный алгоритм для задачи в области с гладкой криволинейной границей
2.3.1. Формулировка дифференциальной задачи
2.3.2. Формулировка дискретной задачи
2.3.3. Вспомогательный результат
2.3.4. Сходимость решения системы Галеркина к точному решениюЮб
2.3.5. Оценка собственных чисел матрицы дискретной системы
2.3.6. Сходимость каскадного алгоритма
Глава 3. Вопросы реализации и численные эксперименты
3.1. Вопросы реализации каскадного алгоритма
3.1.1. Итерационные методы в каскадном алгоритме
3.1.2. Трехслойный полуитерационный метод
3.2. Численные эксперименты
3.2.1. Предварительные замечания
3.2.2. Уравнение Пуассона

3.2.3. Плоская задача теории упругости
3.2.4. Слабонелинейная задача
3.2.5. Задача со знакопеременным спектром
Заключение
Список литературы

Таким образом, мы определили изоморфизм между векторами у Є Мі и функциями V Є Нг.
Билинейная форма
£(щу) = £(и,у) + а0(«,«)п (1-76)

симметрична и на основании. (1.70) положительно определена в (О).

Поэтому МЫ можем ввести энергетическую норму ДЛЯ функций ИЗ їУІ(и)
Очевидно, что она эквивалентна норме ||
с2|МІі,о< ІМІЬ<сзНі,п У«є(й). (1.77)
Введем также скалярное произведение и норму для векторов (у, Уо)г = Аі(х)у(х)ю(х) = АДш,
хЄПі Ч 1/2

(ССаь* 1
X) А()г;2(х)] , У,Ы є Ми
хєі
где знак обозначает транспонирование. Кроме того, введем матрицу
А{ = + А
и определим энергетическую норму для векторов
ИНН, = {утА&)1/2, V Є Мі.
Для изоморфной пары у Є Мі и у Є Нг нормы ||5||о.п и ||г||; удовлетворяют неравенству [7]
С4ІМІ,- < ||«||о,п < «о1ФИі- (1-78)
Тогда энергетические нормы эквивалентны
СвМг < Р»Ь < Мі- (1-79)
Действительно, с учетом (1.75) имеем
Ип = (М + «оПНо,«*