Метод конечных элементов для задач конвекции-диффузии с преобладанием конвекции

• Автор: Карепова, Евгения Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 164 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ
1. Дифференциальная задача и ее свойства
1.1. Пограничный слой
1.2. Асимптотическое разложение решения
1.3. Оценки остаточного члена
1.4. Слабая формулировка задачи. Метод Петрова-Галеркина
2. Схема метода конечных элементов на основе линейной квадратурной формулы
2.1. Построение квадратурной формулы
2.2. Свойства сеточной задачи
2.3. Теорема сходимости
3. Схема метода конечных элементов на основе нелинейной квадратурной формулы
3.1. Построение квадратурной формулы
3.2. Свойства дискретной задачи
3.3. Теорема сходимости
ГЛАВА 2. ДВУМЕРНАЯ ЗАДАЧА КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ
1. Общие замечания
1.1. Качественное поведение решения
1.2. Слабая формулировка задачи
2. Схема с подгоночной квадратурной формулой для задачи без параболических погранслоев
2.1. Постановка задачи
2.2. Построение подгоночной квадратурной формулы
2.3. Свойства дискретной задачи. Теорема сходимости

3. Построение схемы при наличии регулярного и параболического пограничных слоев
3.1. Свойства дифференциальной задачи
3.2. Построение подгоночной квадратурной формулы
3.3. Свойства дискретной задачи
ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ЗАДАЧИ
1. Численное моделирование в одномерном случае
2. Постановка задачи для численного моделирования в двумерном случае
3. Сетки
4. Методы решения дискретной задачи
5. Обсуждение численного решения
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
Литература
ВВЕДЕНИЕ
Математические модели многих процессов в физике, химии, технике описываются дифференциальными уравнениями, содержащими малые параметры, которые появляются как множители перед некоторыми членами уравнений. Если незначительное возмущение параметра в таком уравнении вызывает резкое изменение решения, то зависимость решения от малого параметра называется сингулярной, а само уравнение с малым параметром -сингулярно возмущенным.
Данная работа посвящена численным методам решения сингулярно возмущенных задач для уравнений конвекции-диффузии с малым параметром при старших производных, характеризующих процесс диффузии. Поскольку в этом случае невозмущенное (вырожденное) уравнение имеет порядок на единицу меньше исходного (возмущенного) уравнения, то существенным отличием невозмущенной задачи от исходной является невозможность выполнения всех поставленных краевых условий. Часть из них оказывается лишней, что приводит к быстрому изменению решения в малой окрестности соответствующих участков границы.
В результате стандартные методы конечных разностей и конечных элементов на равномерной сетке либо неустойчивы, либо дают неудовлетворительную точность при малом значении параметра диффузии. В то же

Используем разложение в ряд Тейлора в точке х и приравняем коэффициенты при /г,- и Л?:
Дг Т Щ А(1 А) Т Дг+1А+1)
(1.50)
2г/г7*г = ~ А) + А+1А+1 (2Лг‘ + А-щ)-
В итоге мы получили следующий приближенный функционал правой части:
Л(ш/г) = Е(//г/г-1 + (1.51)

с коэффициентами рц и г/г- из системы (1.50).
В результате замены билинейной формы а(-, ) и правой части (/, гп) в (1.35) мы получаем следующую дискретную задачу: найти ин 6 Дд такую, что г/Л(0) = «о, «(1) = щ и
аиюк) = Д(шЛ) € ГЛ. (1.52)
Перепишем эту задачу в эквивалентной матрично-векторной форме: по-
строить функцию

ин = £

с весами 7г; удовлетворяющими условиям 7о = «о, 7« = М1 и системе
линейных алгебраических уравнений
7 = (1-53)
с искомым вектором решения
7 — (7ь
и заданной правой частью