Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах вариационного усвоения данных

• Автор: Шутяев, Виктор Петрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 207 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Сопряженные уравнения и алгоритмы
возмущений в нелинейных задачах
1.1. Принципы построения сопряженных операторов
в нелинейных задачах
1.2. Алгоритмы возмущений для нелинейных уравнений общего вида и уравнений с сопряженными операторами
1.3. Алгоритмы возмущений в квазилинейных эволюционных задачах ,
1.4. Алгоритмы возмущений для вычисления функционалов
на основе сопряженных уравнений
Глава 2. Сопряженные уравнения и операторы управления
в задачах об усвоении данных
2.1. Постановка задачи об усвоении данных
2.2. Линейная задача об усвоении данных. Свойства оператора управления
2.3. Фундаментальные функции управления
2.4. Обоснование алгоритма возмущений
и разрешимость нелинейной задачи
2.5. Задача нечувствительного оптиматьного управления
2.6. Случай вырожденного наблюдения
2.7. Проблема об усвоении данных для квазилинейных сингулярно возмущенных задач
Глава 3. Операторы управления в задачах
восстановления функций источников
3.1. Постановка задачи
3.2. Свойства оператора управления
3.3. Фундаментальные функции управления

3.4. Обоснование алгоритма возмущений для нелинейной
задачи об усвоении данных
•3.5. Случай несимметричного оператора А
Глава 4. Операторы управления в задачах восстановления источников
и начальных данных
4.1. Постановка задачи об усвоении данных
4.2. Линейная задача об усвоении данных. Свойства оператора управления
4.3. Фундаментальные функции управления
4.4. Обоснование алгоритма возмущений
и разрешимость нелинейной задачи
4.5. Случай несимметричного оператора А
и вырожденного наблюдения
Глава 5. Итерационные методы решения
задач об усвоении данных
5.1. Итерационные алгоритмы восстановления
начальных данных
5.2. Случай несимметричного оператора А
5.3. Итерационные алгоритмы решения
задач о восстановлении источников
5.4. Итерационные алгоритмы одновременного восстановления источников и начальных данных
5.5. Проблема об усвоении данных для квазилинейных сингулярно возмущенных эволюционных задач
Приложение
П.1. Задача об усвоении данных для уравнения динамики
вязкой баротропной жидкости на сфере
П.2. Идентификация начальных данных в параболических
задачах с переменными коэффициентами
П.З. Алгоритм возмущений для решения квазилинейной
задачи теплопроводности
Заключение
Литература

Введение
Как показали исследования последних лет, теория сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений играют важную и незаменимую роль в анализе сложных систем, оценке чувствительности математических моделей. Теория чувствительности на основе сопряженных уравнений может быть с успехом применена к ретроспективному анализу процессов, описываемых имитационными моделями, а также к исследованию самих моделей, реализуемых с помощью современных вычислительных технологий. В последнее время объектом широкого фронта исследований становятся нелинейные задачи, которые чрезвычайно сложны для анализа и интерпретаций. Кроме того, задачи об усвоении данных, связанные с четырехмерным анализом данных наблюдений, как правило, являются сложными нелинейными задачами оптимального управления, включая задачи с существенно нелинейными операторами. Мощным методом исследования нелинейных задач на основе теории сопряженных уравнений в настоящее время является метод возмущений, который зачастую выступает уже как метод математического моделирования. Применение метода возмущений часто позволяет решить такую важную проблему как исследование разрешимости математической модели и провести сравнительный анализ математических моделей сложных систем на основе теории сопряженных уравнений. Поэтому весьма актуальным является дальнейшее развитие теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений для анализа и численного решения нелинейных задач об усвоении данных.
Сопряженные уравнения все более активно начинают проникать в различные области математики и ее приложений. Как известно, математический аппарат сопряженных уравнений в своей классической форме хорошо развит только для линейных задач. В последние годы исследователей все больше привлекают нелинейные задачи математической физики, и, естественно, при этом возникают те или иные обобщения теории сопряженных уравнений, имеющие оригинальное значение для классов задач. Одно из таких обобщений было рассмотрено в работе Г.И.Марчука (1974). Большой интерес вызывают подходы, связанные с построением сопряженных операторов в нелинейных задачах и сформулированные в

справедливо разложение в ряд IIЛ = Е £гиМ) с некоторыми 0Д1 6 Р(Р).

Подставляя эти разложения в (1.2.42), находим уравнения для 6гг'Е Сравнивая эти уравнения с уравнениями (1/2.40), мы последовательно устанавливаем, что £/д = Со, и1Ю — щ
соответствующие уравнения для с/;¥'' и щ. Тем самым убеждаемся в справедливости формулы (1.2.44). Таким образом доказана
Теорема 1.2.4. Пусть выполнены условия теоремы 1.2.1 или 1.2.2 и рассматривается метод последовательных приближений (1.2.42) с начальным приближением и0 = и,о, где Щ - решение невозмущенной задачи (1.2.20). Тогда приближение СЛ представимо в виде

и" = и(м)+ Е егиТ,
i=N+1
где Сру) " приближение N-20 порядка, алгоритма возмущений, и справедлива оценка

Г” - и,т< с

, с = сопе! >0, Єо < £ о
Отметим, что, если Р - /с-степенной оператор, то сформулированный результат следует из теоремы, доказанной в [3]. В [127] показано также, что в некоторых случаях метод последовательных приближений может быть предпочтительнее для вычислений по сравнению с алгоритмом возмущений.
1.3. Алгоритмы возмущений В квазилинейных эволюционных задачах
Вопросы обоснования алгоритмов возмущений в квазилинейных эволюционных задачах имеют свою специфику. При исследовании квазилинейных эволюционных задач очень важно правильно выбрать функциональные пространства, в которых действует нелинейный оператор задачи, и согласовать эти пространства с пространствами решений и входных данных - источников и функций начальных условий. Это сделать не так просто, поскольку нелинейный оператор может иметь хорошие свойства в одних пространствах, а решения и исходные данные задачи могут принадлежать совсем другим. В каждом конкретном случае выбор функциональных пространств для исследования возмущенной задачи и обоснования алгоритма возмущений - это отдельная проблема. В настоящем параграфе доказан ряд общих теорем о разрешимости возмущенных квазилинейных эволюционных задач в различных специальных