Некоторые задачи наилучшего приближения в гильбертовых пространствах

• Автор: Гаврилов, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 75 с.

Содержание
Введение
1. Наилучшие квадратурные формулы
1.1. Постановка задачи
1.2. Наилучшие формулы в пространстве с воспроизводящим ядром и сплайны наилучшего приближения
1.3. Производная сплайн-проектора
1.4. Свойства наилучших формул в гильбертовом пространстве с воспроизводящим ядром
1.5. Свойства наилучших формул в банаховом пространстве
1.6. Алгоритм оптимизации узлов. Численные эксперименты
1.7. Трудности, связанные с оптимизацией узлов
2. Рациональные и ”полулинейные” аппроксимации в гильбертовых пространствах
2.1. Постановка задачи
2.2. Свойства локально наилучшего приближения
2.3. Полулинейная аппроксимация и методы ее построения
2.4. Численные эксперименты
3. Интерполяция в пространстве Харди
3.1. Основные понятия. Постановка задачи
3.2. Инволюция
3.3. Интерполяционная формула
3.4. Производная проектора
3.5. Некоторые замечания об оптимальных в Н2 квадратурных формулах
Заключение
Литература

Введение
Начиная примерно с 60-х годов задачи наилучшего приближения в гильбертовых пространствах привлекают пристальное внимание в связи с приложениями к оптимальным квадратурным формулам, интерполяции, а также аппроксимации в соответствующих метриках. Хотя у таких задач есть много общего, используемые методы, как и сферы их приложения, чрезвычайно разнообразны.
В настоящей работе затронуты такие проблемы, как наилучшие квадратуры и рациональная аппроксимация в гильбертовых пространствах, а также интерполяция в пространстве Харди. По каждому из этих направлений имеется обширная литература. Рассмотрим их по очереди.
Построение квадратурной формулы означает аппроксимацию интеграла
J{f) = / f{x)p{x)dx,

где Q - область в R17, конечной суммой
L(f) = Ecif(ti)-

Требуется выбрать узлы t{ 6 Q и коэффициенты а 6 R так, чтобы в том или ином смысле
J{f) ~ £(/)
Функционал R(f) = J(f) — L(f) называется погрешностью формулы, и в конечном итоге метод ее построения зависит от условий, налагаемых на R(f).
Здесь существуют два разных подхода. При традиционном, алгебраическом, подходе требуется, чтобы
Д(/)=0, / € 5,

где в качестве S обычно используется пространство многочленов ограниченной степени. При функциональном подходе требуется выбрать формулу, минимизирующую норму погрешности, т.е. величину
||Д|| = sup М,
К/1М0 11/1!
где || || - некоторая норма (или полунорма). Квадратурная формула, для которой норма погрешности достигает минимума, называется оптимальной в соответствующем пространстве. Следует отличать оптимальные формулы с заданными узлами от оптимальных формул со свободными узлами. Последние называются у Никольского [14] наилучшими, и мы будем придерживаться этой терминологии.
Оптимальные в гильбертовом пространстве квадратуры с заданными узлами хорошо изучены и достаточно подробно рассматриваются, например, в [18], см. также [12]. Важнейшим свойством таких квадратур, доказанным впервые для простейшего случая Сардом [38], является их точность для так называемых сплайнов. Именно, Сард рассматривал квадратурные формулы с равноотстоящими узлами, оптимальные в пространстве , и показал, что они точны для кусочно-полиномиальных функций с теми же узлами, известных как сплайны. Шёнберг [39] доказал это для произвольных узлов. Далеко идущие обобщения этого результата связаны с развитием общего понятия сплайна в гильбертовом пространстве; здесь прежде всего следует упомянуть имя С.Л. Соболева, впервые рассмотревшего с этой точки зрения многомерные квадратурные формулы. О сплайнах этого вида можно прочесть в [18] и в [12], а также в [40, 11] . В [18] имеется обширная библиография по оптимальным, в том числе многомерным квадратурным формулам с фиксированными узлами, включая работы последних лет.
В теоретическом плане самыми удобными для изучения являются оптимальные квадратурные формулы в пространствах с воспроизводящим ядром. Гильбертово пространство, элементами которого явля-
Таблица 1. Нормы погрешности наилучших и локально наилучших формул
К р(тгп) р(тах) а
1 2.8884836- 10-1
2 2.0954783- 10-1 - 4.2
3 1.0548995- 10-1 - 5.0
4 5.0539020- 10-2 - 7.3
5 3.1054017- 10~2 - 1.1
6 2.4131798- 10-2 - 6.3- 10~5
7 . 1.1527782- 10-2 1.1527786- 10-2 5.9
8 6.3439856- 10-2 - 4.1
9 4.80038- 10“3 4.80041- 10~3 3.3- 10“4
10 3.99364- 10-3 3.99395- ИГ3 2.8
11 2.94269- 10~3 2.94334-10'3 4.8
12 1.84949- 10-3 1.84994- 10~3 7.5
13 1.39938- 10-3 1.39945- 10-3 3.4- 10~3
14 8.77565- 10~4 8.77672-10'4 4.6- 10~3
15 6.91799-10"4 6.97999-10-4 1.0
4= *** ***
6 2.4281980- 10~2 2.4281981- 10-2
6 2.6865022- 10~2
9 5.97309- 10-3 5.97326-10'3
10 5.56115- 10-3 5.56147-10"3
11 3.47859- 10-3 3.47871- 10-3
12 2.56474- 10-3 2.56517- 10-3
13 2.56225- 10-3 2.56311- 10-3
14 1.34611-ТО-3 1.34759- 10-3
14 2.55720- 10-3 2.55957- 10~3
15 2.53941- 10-3 2.53951- 10"3