Оценка ошибки численных методов для решения дифференциальных уравнений второго порядка

• Автор: Золотарева, Наталья Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 79 с.

Оглавление
Введение
1 Оценка глобальной ошибки метода Нумерова.
1.1 Случай линейного дифференциального уравнения
1.2 Случай нелинейного дифференциального уравнения.
2 Оценка глобальной ошибки метода Штермера
2.1 Оценка для явного метода Штермера
2.1.1 Оценивание вспомогательных величин
2.2 Оценка для неявного метода Штермера
3 Метод эллипсоидов для оценки глобальной ошибки метода Штермера
3.1 Оценка для явного метода Штермера
3.2 Оценка для неявного метода Штермера
Заключение
Список литературы

Введение
1. Постановка задачи. Данная работа посвящена получению строгой оценки ошибки численного решения задачи
y" = f{x,y), 0<х<Х0, у{0) = уо, у'(0) = у'о, (0.1)
где y,f 6 Я”. Задачи вида (0.1), где правая часть дифференциального уравнения не зависит от первой производной, встречаются в механике и в квантовой теории рассеяния. Случай, когда задача (0.1) имеет колеблющееся решение (при п = 1 это имеет место, когда < 0), представляет собой наибольший интерес, так как тогда при использовании известных методов оценки ошибки численного решения возникает так называемый эффект раскрутки (эффект Мура [12]), то есть оценка ошибки растет экспоненциально с ростом длины отрезка, в то время как сама ошибка растет значительно медленнее. Предложенные в работе методы позволяют одновременно с получением приближенного решения строить его окрестность, содержащую точное решение, то есть указывать границы, в которых заключено точное решение.

2. О различных методах решения дифференциальных уравнений. Задачу Коши (0.1) можно решать с помощью формулы Тейлора ( [1], стр.358), то есть в качестве численного решения ут, апроксимирующего точное решение у(х) в точке хт, брать
где хт € [0,Хо] при т — 1,2,
Значения ?/3)(0), 2/^(0) и т.д. можно получать последовательно диффериенцируя f{x,y{x)) соответствующее число раз и подставляя значения в точке (0, уо) предыдущих производных.
Если Хо больше радиуса сходимости ряда Тейлора, то погрешность метода не стремится к нулю при п стремящемся к бесконечности и предложенный метод неприменим. Но его можно применять для нахождения первых нескольких значений ут при использовании многошаговых численных методов.
Кроме того, можно применять этот метод на каждом шаге. То есть находить приближенное значение в точке хт следующим образом:
дифференциального уравнения, проходящего через точку (хто_1,г/т_1). На практике этот метод применяется относительно редко, поскольку при его использовании нужно вычислять значения всех производных функции {{х,у[х)) до (п — 2)-го порядка включительно.
Следующий способ решения задачи (0.1) основан на сведении уравнения второго порядка к системе уравнений первого порядка
" „(О

где у£_ 1 - значения производных в точке æm_! решения исходного

Of Of 02f O2 f
+|^(sm-2, So) - g^(xm, s0)) j < |s2 - s„| max |^| + 2hmax | — |,
TO 1^1 - ^2| < i_fc3i/f2(|Zm-l|i + + km—21 ' |s2 - S0|------+
hzm-
Теперь оценим |s2 - s0|:
кг - в0| < тах{|у(хт) - у{хт_2)|, у{хт) - г/т_21,
IУт ~ У(%т—2)|: IУт Ут—2 |}I
так как Si лежит между у(хт^) и ут_;.
Поскольку |у(хт) — у(дт_2)| < 2НУ, где |2/'(ж)| < У на отрезке
[0.ЗД
|у{хт) - Ут-г| = |2/(®ш) - (у(хт-2) - гт_2)| < 2НУ + |гт_2|,
IУт У{^Хт—2)| = |Ут (Ут—2 Т ^га_г)| ^ |Ут Ут—2 | Т кт—2 11 то, обозначив через г? оценку • сверху величины |г,-|, получим, что
кг - в0| < 5 = тах{2ЛУ' + г%_2, ут - г/т_2] + г£_3}.
Пусть г? - оценка сверху величины |т|, тогда и -г® можно находить последовательно следующим образом:
в в N + гв И /Вг.^ + го,
»•m V-1+ h + 1 -h^L/12^Zm-lL+ 12 L +
+ S<-a—+
(1.19)
+ Лг5, m>2.
В качестве начальных значений можно взять г® = 0, г? = 8, г® = <5/Л.