Теория и методы решения обратных задач Стефана

• Автор: Гольдман, Наталия Львовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 316 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
1 ПОСТАНОВКИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ПРОБЛЕМЫ СТЕФАНА
§ 1.1 Классификация некорректно поставленных обратных
задач Стефана и области их применения
§ 1.2 Граничные обратные задачи для однофазной проблемы
Стефана при заданном фронте фазового перехода
§ 1.3 Граничные обратные задачи для однофазной проблемы
Стефана при неизвестном фронте фазового перехода
§ 1.4 Граничные обратные задачи для двухфазной
проблемы Стефана
§ 1.5 Коэффициентные обратные задачи Стефана
2 РЕГУЛЯРИЗИРУЮЩИЙ МЕТОД ВАРИАЦИОННОГО ТИПА ДЛЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА
§ 2.1 Построение приближенных решений на основе
метода квазирешений
§ 2.2 Устойчивость приближенных решений
§ 2.3 Дифференцируемость функционалов в вариационных
постановках обратных задач Стефана
3 АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА
§ 3.1 Принципы построения алгоритмов
§ 3.2 Численное решение однофазных обратных задач Стефана с заданным фронтом фазового перехода. Определение граничных режимов для непрерывного литья слитков. 167 § 3.3 Алгоритмы дескриптивной регуляризации для граничных
обратных задач Стефана с неизвестным фазовым фронтом 176 § 3.4 Численное решение коэффициентных обратных задач
Стефана. Расчет интенсивности лазерных источников

4 СВОЙСТВА ОПЕРАТОРНЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ СТЕФАНА
§ 4.1 О корректности прямых постановок в классах Гельдера квазилинейных краевых задач в областях с подвижными
границами
§ 4.2 Априорные оценки норм Гельдера для дифференциальноразностных аналогов линейных параболических
уравнений
§ 4.3 Однозначная разрешимость в классах Гельдера
дифференциально-разностных аналогов квазилинейных
краевых задач
§ 4.4 Существование, единственность и устойчивость решения в классах Гельдера прямой квазилинейной проблемы
Стефана общего вида
ПРИЛОЖЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена одному из современных направлений исследований в теории некорректных задач — обратным задачам Стефана для квазилинейных параболических уравнений. Такие задачи возникают при изучении многих нелинейных теплофизических, диффузионных и других процессов в связи с проблемами совершенствования технологий, создания новых методов обработки материалов и современных образцов техники. Актуальность квазилинейных обратных задач Стефана вызвана тем, что в ряде случаев их решение — как вычислительный эксперимент с использованием компьютерной техники — является практически единственным средством исследования сложных нестационарных нелинейных процессов с фазовыми переходами.
В диссертации с единых позиций рассматриваются граничные и коэффициентные обратные задачи, состоящие в определении граничных функций и правой части уравнения для проблемы Стефана при наличии того или иного вида информации о решении прямой задачи. Значительная трудоемкость решения таких задач в силу их нелинейности и некорректности, которая проявляется чаще всего в неустойчивости относительно погрешностей входных данных, требует разработки специальных регуля-ризирующих методов и вычислительных алгоритмов.
Оснополагающие принципы регуляризации некорректно поставленных задач заложены в работах А.Н. Тихонова [100, 101, 102, 103], В.К. Иванова [58] и М.М. Лаврентьева [65] (см. также [106]). Среди других авторов, внесших существенный вклад в развитие теории и методов решения некорректных задач и в построение конкретных регуляризирующих алгоритмов, необходимо отметить В.Я. Арсенина, А.Б. Бакушинского, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Васина, В.А. Винокурова, A.B. Гончарского, В.И. Дмитриева, A.C. Ильинского, A.C. Леонова, В.А. Морозова,
В.Н. Страхова, А.Г. Яголу, D.L. Phillips, R.L. Lattes, J.-L. Lions. Библиографию можно найти, например, в [6, 26, 70, 76, 82, 103, 104, 105, 107, 108, 117, 190, 191].
Целый ряд исследований, посвященный некорректным обратным задачам для дифференциальных уравнений, связан с именами А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, J.R. Cannon, К.-Н. Hoffmann, J.-L. Lions и с созданными ими научными школами.
Характерной чертой обратных задач является требование определить

<”>“<5 = яиР (КМ) ” г>(М')1 |< - А "}
(аДЦаДОбСЗ
0>"/п(П) при 1,- > 0, целых — пространство непрерывных функций и(х), имеющих в области П ограниченные производные Т>хи порядка 8 < тах(/1
Кроме этих основных пространств в диссертации используются также их сеточные аналоги:
£2г(<т), 2т(иг), 2т(шт) — конечномерные аналоги пространств £г[0, Т],
Й#10,Т], И7|[0,Т] для сеточных функций й — [и-, к .у), заданных на
сетке Шт = {Ц} = {]Т,3 = 0,1Г,1Уг = Г}. Норма в этих пространствах индуцирована скалярным произведением, которое в Ь2т(и}т) определяется, в частности, как

{й, щит = V = (VI
ро = рк = 0.5т, рі = т, j = l,N-l.
Н1т(шт) при I > 0, нецелом — аналог пространства Н1[О, Т] для сеточных функций й = («і,. ,.,и]у), заданных на сетке Шт = {} Є [О, Т]. Норма в этом пространстве определяется равенством
НІГ= уЦи1+

Т>Р = г)/т1
нЩЯт) при / > 0, нецелом — сеточно-непрерывный аналог пространства Н1М2((3) для дискретных по t функций щ(х), непрерывных по х вместе со своими производными 1>Рхщ(х) (2г + в < [/]) при X € и, £ ит, и обладающих конечной нормой
ыУ/2 - V" |-пгт>4«|5. л V1 /пс-пил1-
'§т — У ЦЧп|£т + V у (Цхи);,
4 2гфз£0 4 2гГЗА[г] 0<1-<2г-з<2
где символ Ху означает разностное отношение
£У<: = пг = (ф;.г) - с; -і(.т))/г,