Методы численного анализа краевых задач с сингулярностью

• Автор: Рукавишников, Виктор Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 269 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СВОЙСТВ РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ С ВЫРОЖДЕНИЕМ
1.1. Весовые пространства С.Л.Соболева
1.2. Теоремы вложения. Вспомогательные утверждения
1.3. Постановки задач. Определение Ry-обобщенного решения
1.4. Первая краевая задача для несамосопряженного
эллиптического уравнения с согласованным вырождением исходных данных в прямоугольной области
1.4.1. Существование и единственность Н-обоб-
щеиного решения
1.4.2. Неравенство коэрцитивности
1.4.3. Дифференциальные свойства -обобщенного

решения в пространствах Н2 г>+2(£})
1.5. Задача Дирихле с несогласованным вырождением
исходных данных в произвольной выпуклой области
1.5.1. Существование и единственность Яу-обобщен-
ного решения в пространстве У?2 (8*)
1.5.2. Априорные оценки Ну-обобщенного решения
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ
ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
2.1. Первая краевая задача
2.1.1 . Сетка, сеточные функции и их нормы
2.1.2. Разностная схема. Погрешность аппроксимации
2.1.3. Основные леммы

2.1.4. Разностшй аналог неравенства коэрцитивное™. Теоремы сходимости
2.2. Задача с изменением типа граничных условий
2.2.1. Постановка разностной задачи
2.2.2. Аппроксимация, устойчивость, сходимость
ГЛАВА 3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
3.1. Задача Дирихле и ее свойства
3.2. Построение схемы метода конечных элементов
3.2.1. Триангуляция двумерной выпуклой области
3.2.2. Выбор базисных функций
3.2.3. Существование решения схемы метода
конечных элементов
3.3. Оценка скорости сходимости в пространстве
Н2,г>+Э/2<й)
3.3.1. Сходимость интерполянта решения
3.3.2. Теорема о сходимости метода конечных элементов
3.4. Сходимость и скорость сходимости приближенного решения в метрике L0 (Q)
j V'T f
3.4.1. Вспомогательная задача
3.4.2. Теорема о скорости сходимости в пространстве Ь2
ГЛАВА 4. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ДЛЯ ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С СОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
4.1. Вспомогательные утверждения
4.2. Постановка задачи
4.3. Схема метода конечных элементов

4.4. Оценка скорости сходимости метода конечных элементов в пространстве р+/2 (О)
4.5. Оценка скорости сходимости МКЭ в пространстве +.-ЛО)
ГЛАВА 5. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С
НЕСОГЛАСОВАННЫМ ВЫРОЖДЕНИЕМ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
51. Задача Дирихле
5.1.1. Постановка задачи
5.1.2. Схема с самосопряженным разностным оператором
5.1.3. Схема с несамосопряженным разностным оператором
5.2. Краевая задача с изменением типа граничных
условий
5.2.1. Дифференциальная задача
5.2.2. Разностная схема
5.2.3. Погрешность аппроксимации
5.2.4. Слабая устойчивость. Теорема сходимости
ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗНОСТНОГО МЕТОДА ДЛЯ
ЗАДАЧ С ВЫРОЖДЕНИЕМ
6.1. Постановки дифференциальных задач
6.2. Выбор разностных схем
6.3. Метод решения сеточных уравнений
6.4. Численный эксперимент и анализ результатов
ЛИТЕРАТУРА

Ц +1 о
< (&,+ 2)-Х Ск+г(Г)1Р ( 1 )* сЛ_Іи(х)] сіх, (1.18)
О і=о

здесь Ск +1 - сочетание из Ц+1 по і
Нетрудно заметить, что
і а-(к-к.-1) а-(к-к.-1 )-і
|Б р (х)| < Сй-р (х) для х є О . (1.19)
Из равенства (1.17) и неравенств (1.18), (1.19) следует, что
іра ( 1 к.,+1 < С7-||и|| к.,+1
*2.0 НгІа-Ск-к.-і)
а-(к-к.-1 ) к.,+1
и р и е №0 (О) . В силу индукции утверждение а)

леммы доказано.
0) Согласно условиям утверждения б), функции
а-(к-з) б
р 11 е У5?0 (О) при 0 < з < к

1 " Ч2,о' с "2,а-к
При 3 = О Р и є її? (£}) ИЛИ и є к «_г,(Й) » Т.е
Ц= 0 утверждение 0) справедливо.
Допустим, при некотором ]ц (О < к. < к) доказано, что к1
и е Н2 а-(к-к ) » И .Установлено неравенство
а-(к-к1) а-(к-к,+1)
0. |р и} к, + С, , |р и| к,-1 +
к1 ' (О) к1 1 (Я)
Су у Су
* а-к
+ С*|р и| V > ІІиіі к , (1.20)
к,о<°> Нга-{к-к )<п>