Построение и исследование h-р версии метода конечных элементов для задачи Дирихле с сингулярностью решения

• Автор: Беспалов, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 154 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Построение и исследование к-р версии метода конечных элементов для одномерной задачи Дирихле с сингулярностью решения
1.1. Весовые пространства
1.2. Первая краевая задача с согласованным вырождением исходных данных
1.2.1. Постановка задачи. Определение Д„-обобщенного решения
1.2.2. Существование и единственность Д„-обобщенно-
го решения
1.3. Схема метода конечных элементов
1.4. Вспомогательные утверждения
1.5. Аппроксимация решения модельной задачи с сингулярностью с помощью к-р версии метода конечных элементов на геометрической сетке
1.5.1. Экспоненциальные оценки погрешности аппроксимации в норме пространства Н и+р/2
1.5.2. Двусторонние экспоненциальные оценки невязки метода конечных элементов
1.6. Построение и исследование к-р версии метода конечных элементов на радикальной сетке
Глава 2. Метод конечных элементов в его к-р версии для задачи Дирихле с сингулярностью решения в точках границы
двумерной области
2.1. Основные обозначения
2.2. Вспомогательные утверждения
2.3. Задача Дирихле с согласованным вырождением исходных данных
2.3.1. Постановка задачи. Определение Л-обобщенно-
го решения
2.3.2. Существование и единственность Ли-обобщенного решения
2.4. Схема метода конечных элементов
2.4.1. Задание сетки и степенных векторов аппроксима-ционных функций
2.4.2. Конечноэлементное пространство. Определение приближенного Л(7-обобщенного решения по МКЭ
2.4.3. Построение к-р версии метода конечных элементов
2.5. Экспоненциальная оценка погрешности аппроксимации в норме пространства
Гйава 3. Численная реализация к-р версии метода конечных элементов для оадачи Дирихле с сингулярностью решения
3.1. Постановка дифференциальной задачи
3.2. Алгоритм численного метода
3.3. Численный эксперимент и анализ результатов
Литература
Введение
Настоящая диссертация посвящена разработке и обоснованию к-р версии метода конечных элементов для задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка с сильной сингулярностью решения, вызванной согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек границы области.
В последние три десятилетия теория краевых задач для дифференциальных уравнений с особенностью (вырождением, сингулярностью) решения является одной из интенсивно развивающихся областей математики.
Сингулярность решения краевой задачи для эллиптического уравнения в замкнутой области может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых или конических точек на границе о б ласти, сменой типа граничных условий в точках границы и вырождением исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий).
Исследования краевых задач с сингулярностью решения, вызванной первыми двумя причинами, проводились В.А.Кондратьевым, П.Грисвардом, В.Г.Мазьей, Б.А.Пламеневским, И.Бабушкой и другими. В работах этих авторов (см. [10]—[12], [70]—[73], [19]—[25], [28], [84], [51], [52], [80]) изучались вопросы разрешимости рассматриваемых краевых задач, исследовались дифференциальные свойства решений, строились асимптотические разложения решений в окрестностях угловых и конических точек.
МЛ]эуази в [94], С.М.Никольским в [29], [31], П.И.Лизоркиным и С.М.Никольским в [32], [16]—[18] исследована краевая задача первого рода для эллиптического уравнения порядка 2г с вырождением на всей границе области Й (О с Я" - ограниченная область с достаточно гладкой (п - 1)-мерной границей ЭГ2). Для данной задачи

На основании (1.41)—(1,43), для любого £ е [1 - 1) справедлива
цепочка неравенств
(м+»да*
< С„(,-, + !)(,+. +1)£
<С28 2р2
Р-t (р-*)Р~г f2t+2
1 F+ï&+*>**
;)р-(
(р + i)p+i
При любом i е [р - 1,р] из (1.42), (1.43) следует
fef® + 1»’-FîTiP(M+1, j2*+2 е-2<+2
< С28 (Р + i +1) - t)p+i+1/2 pjzïzt
= с28 г2 < с28Р2 .2/ + L <21
Р - 1 (р - *)*-* f2i <
р + 1 (pH- <)?+'
у/р + г (р + <>+‘ у/2р -1 (р + *)р+<
<С„/3;<С,,5__<»е.. р.44)
Заметим, что, если 4 е (р - 1,р], то выполняются неравенства О е2 = е2+1/е(1 /е)!/е < с31 (р _ {у?-* для любого (б[р-1,р].
Отсюда и из (1.44) имеем
я (М +1) ([# < сг2Р < с32р4
(р + [<])! -'МП'1 -т (рН-<)Р+‘ (р+4)Р+‘
Таким образом, неравенство (1.40) доказано для любых вещественных чисел 1 из отрезка [1,р].
Из (1.38)—(1.40) получаем
I,, ]2 п „4 (р< “ г‘ ли 2(ц-щ) 1 ( Л; 7И>
! " 8ЦЛ№ - 33 й (й+4лЗД ’ ' ,"1 Я 2/ (1 -45)