Смешанный метод конечных элементов для квазилинейных эллиптических уравнений

• Автор: Федотов, Александр Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Глава I. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ
С СИЛЬНО МОНОТОННЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
§ 1. Постановка задачи
§2. Существование обобщённого решения
§ 3. Смешанная постановка задачи
§ 4. Дискретизация задачи
§5. Оценки точности метода
§ 6. Итерационный метод и его сходимость
§7. Численные эксперименты
ГЛАВА II. СМЕШАННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
§1. Постановка задачи
§2. Смешанная постановка задачи
§ 3. Дискретизация смешанной задачи
§ 4. Исследование приближенного метода
§5. Итерационный метод
§ 6. Исследование сходимости итерационного метода
§ 7. Численные эксперименты
Глава III. ПРИМЕР ПРИМЕНЕНИЯ СМЕШАННЫХ СХЕМ
§1. Постановка смешанной стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости
§ 2. Дискретизация задачи
§ 3. Исследование приближенного метода в случае задачи фильтрации
§4. Итерационный метод
§ 5. Численные эксперименты
Литература
1. Актуальность темы. Метод конечных элементов является одним из наиболее распространённых методов решения задач математической физики. Это связано с большой универсальностью метода, сочетающего в себе лучшие качества вариационных и разностных методов. К его несомненным достоинствам относятся возможность использования разнообразных сеток, сравнительная простота и единообразие способов построения схем высоких порядков точности в областях сложной формы. Метод естественным образом сохраняет основные свойства операторов исходных задач, такие как симметрия, положительная определённость и т. п. Различные аспекты современной теории МКЭ изложены в работах [4,7,10,20,21,38,43,47,48].
Классические варианты МКЭ (см., например, [48], с. 112, и обзор [10]) предполагают использование пространств элементов высокой гладкости, основанных па лагранжевой либо эрмитовой интерполяции. Возникающие на этом пути численные алгоритмы зачастую оказываются весьма трудоёмкими. Стремление использовать более простые элементы объясняет появление специального класса схем МКЭ — смешанных методов конечных элементов (СМКЭ) и близких к ним разновидностей МКЭ — смешанно-гибридных и гибридных схем (см., например, обзор в [48], с. 402 - 408). Главное преимущество таких схем состоит в возможности использования простейших конечных элементов Лагранжа. Это достигается путём снижения порядка уравнений при помощи введения вспомогательных неизвестных. Как правило, эти неизвестные связаны с производными искомых функций
и имеют определённый физический смысл (например, — это поток, изгибающие моменты, и т.д.), их вычисление зачастую представляет даже больший практический интерес. Введение вспомогательных неизвестных часто осуществляется за счёт использования двойственной, смешанной или какой-либо иной вариационной переформулировки исходной задачи (см., например, [1,48,84-87]). Впервые абстрактный математический анализ таких методов был проведён в работах Обена, Бушара и Бабушки [44,51,52], позже в работах Кикути, Хас-лингер, Главачек [70-72,78].
П.А. Равьяр, Ж.М. Тома [98] построили различные пространства конечных элементов, используемые для аппроксимации смешанных схем, и получили соответствующие порядки сходимости. Дальнейшие результаты были получены в работах Мэнсфильда [83]. Для получения оценок ошибки Шольц [104], [105] применил метод весовых норм И. Нитше.
Ф. Бреззи, П.А. Равьяр [61] разработали общую теорию смешанных методов для задач четвёртого порядка и получили оптимальные оценки ошибки в норме [| • ||о,пСмешапиые методы конечных элементов для задачи о пластине, впервые предложены Германом [74] и позже развиты в работах По-цески [94], Хеллана [73], Виссера [108]. Анализ таких методов проведён в работах [75,76,81,82,84,102]. В работах Береззи [57], Бреззи и Равьяра [61], Фалка и Осборна [64] были получены оптимальные оценки погрешности этих схем, создана общая теория СМКЭ для линейных эллиптических уравнений четвёртого порядка. Различные модификации СМКЭ и их обоснование можно найти также в [15-17,24,25,28-30,33,40,41,60,63,83,85,86,93-95].
Методы конечных элементов смешанного типа используются также при аппроксимации решений задач Стокса и Навье — Стокса

Лемма 9. Пусть (и,Д — решение задачи (3.8), удовлетворяющее условиям гладкости (1), а (щДь) ~ решение задачи (4.1). Тогда существуют, такие постоянные с, что для 1 < р <
II Мд < с (л(*+1>«|| (Ну ;'||дГ(*+1)(п) + 11« - «л1ГМП)) >
а для р
II - ДОНад ^ С ^ш^\ (Ну Л1^(*+1)(п) + 11« - «л|Цр(а)) •
Доказательство. Рассмотрим разность первых уравнений задач
(3.8) и (4.1):
J сИу(; - Д)У}гдх = I [о0(ж, и) - а0(х, щ)]иьйх Мин е М/,. п п
Добавим и вычтем П/Д под знаком дивергенции в получившемся равенстве, тогда
I сНу(; - ЩДиьдх + I (Иу(П/,у - =
п п
= / [а0(х, и) - а0(ж, г/лЖсйг.

При этом по свойству (4.4) I с11у(у — ПО)гцДг’ = 0, значит

JПыДХД - = I [а0{х, и) - а0(х, и}1)]индх
п п
Оценим модуль от правой части полученного равенства сверху при
помощи условий (1.4) и (1.5) в случаях 1<р<2ир^2 соответственно. В первом случае
/ сНу(Пд) - Д)г;/Д:Е ^ С! / |гх - МЛ|Р
и Г! */ п
^ С1 ||гг — «Л ||др(Ц) ||«/г ||Др(П))