Конечноэлементное решение стационарной системы уравнений Максвелла с разрывными коэффициентами

• Автор: Кремер, Игорь Альбертович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Оглавление

ГЛАВА 1. Введение

ГЛАВА 2. Обобщенная постановка регуляризированной задачи

§ 1. Метод регуляризации для абстрактной задачи с седловой точкой

§ 2. Обобщенная постановка стационарной магнитной задачи

§ 3. Метод регуляризации для магнитостатической задачи

ГЛАВА 3. Дискретная регуляризированная магнитостатическая задача

§ 1. Интерполяционные свойства векторных элементов Неделека.

§ 2. Дискретная постановка регуляризированной магнитостатической задачи

§ 3. Теорема сходимости

ГЛАВА 4. Численное решение стационарной магнитной задачи

§ 1. Свойства регуляризированной СЛАУ
§ 2. Итерационный метод решения регуляризированной стационарной магнитной задачи
§ 3. Вычисление магнитного поля в проводящей среде с соляным диапиром
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ГЛАВА 1. Введение
Актуальность работы. В данной работе рассматриваются вопросы, связанные с численным моделированием электромагнитных полей в трехмерных областях. Задачи расчета таких полей, в частности, возникают в геофизике, при исследовании недр Земли электромагнитными методами. Наиболее интересные методы исследований возникают в области трехмерной электроразведки, в результате применения которых удается восстановить трехмерную геоэлектрическую структуру среды [1]. Развитие электромагнитных методов разведки напрямую зависит от возможностей численного моделирования.
Возникающие задачи можно условно разделить на прямые и обратные задачи. Геофизиков, зачастую, интересуют решения обратных задач, когда по данным измерений восстанавливаются электромагнитные свойства среды. С другой стороны, как правило, решения обратных задач сводятся к решению серии прямых задач, когда электромагнитная структура среды задана, определены источники электромагнитного поля, а требуется вычислить поля в произвольной точке трехмерной среды. В этом смысле умение решать прямые задачи является необходимым условием для решения обратных задач. В свою очередь, прямые задачи подразделяются на задачи в частотной области и задачи во временной области. Задачи в частотной области могут возникать, если плотность тока в источнике электромагнитных полей изменяется по некоторому гармоническому закону. В этом случае система уравнений записывается относительно комплексных амплитуд полей и для фиксированной частоты требуется определить значение амплитуды поля в произвольной точке трехмерной среды. Если гармоническая зависимость плотности тока в источнике от времени не предполагается, то возникает задача во

временной области. В этом случае требуется определить поле в произвольной точке среды в произвольный момент времени.
Рассмотрим систему уравнений Максвелла в квазистационарной постановке, которая часто используется в геофизических приложениях [2]:
rot Н = /, divj — 0, (1.1)
rotE + ^-B = 0, divB = 0. (1.2)
dt ’ v
Здесь Я и В - вектора напряженности и индукции магнитного поля, Е -напряженность электрического поля, / - плотность тока. Неизвестные величины связывают уравнения состояния:
J = aE+Js, В = /лН. (1.3)
Здесь Js - плотность стороннего тока (источник электромагнитного
поля), а - удельная электрическая проводимость, д - магнитная
проницаемость. Предполагаем, что функции сг и д являются скалярными, постоянными в подобластях. На границах раздела подобластей с различными значениями электрической проводимости и магнитной проницаемости выполнены условия сопряжения касательных компонент векторов Н и Е, а также нормальных компонент векторов В и /:
[пх Н] — 0, [пх£-] = 0, [В п = 0, [/ • п] = 0. (1.4)
Здесь п - вектор нормали к границе раздела сред, а квадратные скобки обозначают скачок соответствующей величины при переходе через границу. На различных частях внешней границы, удаленной от
источников полей, предполагаем выполнение однородных краевых условий:
п х Е = 0, / • п = 0, n X Я = О, В • п = 0. (1.5)
Система уравнений (1.1) — (1.3) дополняется начальными данными: Et=0 = Е0, Ht=0 = Я0 или Лс=0=/о, #|t=0 = So. С1-6)

Функцию рр £ <2 выражаем через ир Е V, решая следующую задачу. Найти такую функцию рр 6 (2, что выполнено:

с(рр,ц) =-Ь(ир,д) + (сИр р,11), (2.16)
Ограниченность и (2 - эллиптичность билинейной формы с(-,-) были установлены выше. Проверим ограниченность на О линейного функционала в правой части (2.16). Применяя неравенство Коши -Буняковского и неравенство Шварца, получим:
Ь(иР>я) + /3(сгшГ,£7>| < ь{ир,ц) +р(Р,Чд)
< (о-тахЫгот + Р\Р\г)к\1Д, € (2.
Таким образом, обобщенная задача (2.16) однозначно разрешима, поскольку выполнены все условия леммы Лакса-Мильграма. Оператор С, связанный с билинейной формой с(-,-) формулой {Ср, д) = с(р, ц), Ур, с[ Е (}, ограничен С Е £((),Я-1(П)) и является изоморфизмом между пространствами (2 и Я_1(П) [31]. Следовательно, С~г Е £(Я-1(П), (?) и решение задачи (2.16) дается формулой, аналогичной (2.8):

Рр=—С 1Вир + С гсИуР. (2.17)

Подставляем данное выражение в первое уравнение системы (2.11) и получаем регуляризированную задачу для векторного потенциала. Найти такую функцию щ £ V, что выполнено:
а(ир,у) +-^(Ву.С^Вир) = (Р,у) — (Ву,С~1сИр Р), ZvEV. (2.18)
Для доказательства однозначной разрешимости задачи (2.18) нам потребуется вариант разложения Гельмгольца, который приводится в следующей лемме.