Оптимальные кубатурные формулы вычисления сингулярных интегралов

• Автор: Нагаева, Сания Якубовна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 143 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
1. Определение интеграла Адамара
2. Постановка задачи
3. Классы функций
4. Обзор методов вычисления сингулярных интегралов
5. Обзор методов вычисления интегралов Адамара
6. Обозначения, встречающиеся в диссертации 22 Глава 1. Оптимальные методы восстановления
функций со степенным ростом производных
1.1. Оптимальные методы восстановления функций со степенным ростом производных на классах С*7(Я),
Я*г*у(п),<э*г*1(п) ’
1.2. Аппроксимация сплайнами на классе В*7(0) функций многих переменных
Глава 2. Квадратурные формулы вычисления сингулярных интегралов
2.1. Оптимальные методы вычисления сингулярных интегралов на бесконечной прямой на классе функций На Д1)
2.2. Оптимальные методы вычисления сингулярных интегралов на бесконечной прямой на классе функций (1)
2.3. Асимптотические по точности алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечной прямой
2.4. Оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов на классе Р*(0, М)
Глава 3. Оптимальные кубатурные формулы вычисления многомерных интегралов Адамара
3.1. Вычисление многомерных интегралов вида

3.3. Вычисление многомерных интегралов вида
Глава 4. Оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов
4.1. Вспомогательные утверждения
4.2. Сингулярные интегралы с фиксированной особенностью
4.3. Сингулярные интегралы с ядрами Коши
4.4. Интегралы в смысле главного значения Коши— Адамара с фиксированной особенностью
4.5. Приближенное вычисление интегралов в смысле главного значения Коши - Адамара
Литература Приложения Приложение 1. Реализация квадратурной формулы
Приложение 2. Реализация квадратурной формулы
Приложение 3. Реализация квадратурной формулы
Приложение 4. Реализация кубатурной формулы вычисления двумерного интеграла Адамара вида
йх ..(2®; на классе С[(0,1)
вычисления интеграла вида

вычисления интеграла вида

«'(г
вычисления интеграла Адамара вида

Введение
Актуальность темы. Сингулярные интегралы различных типов находят широкое применение в многочисленных областях естествознания и техники: в теории упругости, электродинамике, аэродинамике, теории автоматического управления, квантовой механике, ядерной физике. Но их вычисление в замкнутом виде возможно только в исключительных случаях. Поэтому возникает задача приближенного вычисления сингулярных интегралов.
Теория квадратурных и кубатурных формул является активно развивающимся направлением в современной математике. Построение пассивных алгоритмов восстановления функций и вычисления интегралов основано на концепции оптимальности, гарантирующей получение наилучших результатов при наихудшей на взятом классе исходной информации. Эта концепция положена в основу построения оптимальных по точности пассивных алгоритмов аппроксимации функций с особенностями у границы области, вычисления интегралов от функций с особенностями и вычисления сингулярных интегралов.
Цель работы. Работа посвящена построению асимптотически оптимальных и оптимальных по порядку алгоритмов вычисления сингулярных интегралов и интегралов Адамара (одномерных и многомерных) на различных классах функций; построению оптимальных методов восстановления функций со степенным ростом производных.
Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались методы теории приближения функций, теория квадратурных и кубатурных формул, методы оптимизации.
Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:
- построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классах функций На<р( 1), Ур(1),
- построены асимптотически оптимальные алгоритмы вычисления интегралов Адамара с фиксированной особенностью на бесконечных контурах интегрирования на классе функций ШГ(М),
- построены оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных интегралов с фиксированными особенностями на классе функций ОЖМ),
- построены асимптотически оптимальные и оптимальные по порядку алгоритмы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов на классе функций ЦГГ(£1,М),

при ж G Л1"', 1 If(x) - fN(x)I < -j=e~rvN < Сщг/{1~1](inmyW-W*.
Таким образом при w >
I/(*) - În{x)I < С’п][г/((_1)(1пп1)г/(г~1).
Пусть теперь w < 1. В этом случае v = In 2 и, следовательно, число кубов i(, расположенных в области fi, равно п
= C2nQ~{
Оценим погрешность аппроксимации функции /(£) сплайном /дг(ж). Если ж 6 то
С! Аггг
f(x) - /я(ж)| < —-р-Л5 < Cé~Nn = С2~гЛГ.
Если ж G Д£,то
Обозначим через ni общее число функционалов функции /(ж), используемое при построении сплайна /дг(ж), имеем
|/(») - Лг(*)| < С'пГг/{г_1)(1пп1),'/(г_1).
Таким образом, посторен сплайн /jy(ж), аппроксимирующий функцию
/(ж) с ТОЧНОСТЬЮ (7n['r/_(lnni)r/T~1).
В работе [27] получена оценка снизу
8п{Вг„{П)) > Cri~rKl~lK
Распространяя результаты [27] на класс функций jB* (fi), убеждаемся, что оценка погрешности построенного выше локального сплайна отличается от оценки погрешности оптимального сплайна множителем