Алгебраический метод нахождения экстремума полиномиальной функции

• Автор: Черкасов, Тимофей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 114 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ Список обозначений и сокращений
Введение
Глава 1. Экстремум полинома одной переменной
§1.1. Вычисление характеристик ганкелевой матрицы
§1.2. Результант и субрезультанты
§1.3. Отделение решений в случае одной переменной
§1.4. Чувствительность значений корней
§1.5. Формула Маркова
§1.6. Нахождение максимума полинома одной переменной
Глава 2. Экстремум полинома нескольких переменных
§2.1. Многомерный результант по Пуассону
§2.2. Отделение решений в случае двх переменных
§2.3. Вычисление симметрических функций решений
§2.4. Метод Эрмита для двух переменных
§2.5. Результант трех полиномов двух переменных
§2.6. Метод Эрмита для трех и более переменных
§2.7. Условия знакоопределенности формы
§2.8. Нахождение максимума полинома нескольких переменных
§2.9. Условный максимум
Заключение
Литература

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ
Наряду с общепринятыми, в диссертации используются некоторые специфические обозначения.
• Р(Аь
• Значок 1 означает транспонирование.
• сг(А), п+(А), п_(М), А для вещественной симметричной матрицы А обозначают соответственно сигнатуру, положительный и отрицательный индексы инерции, и к-й главный минор.
• С), 77(Р, С), Т>(Л) — наибольший общий делитель, результант
и дискриминант полиномов Х(ж) и С(ж) от одной переменной;
Ли (Р, С?), (-Р1) — /г-ый субрезультант и й-ый субдискриминант.
• 77х, Ау(х) — результант и элиминанта по ж7 для полиномов от нескольких переменных.
• Символами J и Л обозначаются якобиан и гессиан.
• иг/. {.Р(Х) = 0,
• Выражение моном понимается как произведение некоторых степеней переменных с числовым коэффициентом равным единице.
• ж У у означает, что при упорядочении некоторого множества мономов одинаковой степени первыми ставятся мономы с большей степенью х.

ВВЕДЕНИЕ
Задача нахождения глобального экстремума полиномиальной функции Р(х) £ к[Х],Х = (х1
<9Е(Х)/дж1 = 0
Уже установление точного числа этих нулей представляет затруднения. Но даже если предположить, что возможна локализация конкретного нуля, то нахождение его приближения с наперёд заданной точностью не всегда гарантированно численными методами, например, аналогичными методу Ньютона. Последний очень чувствителен как к выбору начального приближения, так и к возмущениям в коэффициентах системы (в нашем случае, функции Л(Х)). Эти недостатки численных методов известны уже в одномерном случае [22], не говоря уже о многомерном.
От этих недостатков свободны так назывемые символьные или аналитические методы, принципиальные отличия которых от численных заключаются в следующем:
• в процессе вычислений допускается использование только рациональных чисел и целых рациональных функций с символьными коэффициентами:
• результат (качественный или количественный) должен достигаться за конечное число элементарных алгебраических операций.

Подчеркнем еще раз, что каждая подстановка е — а дает абсолютно достоверную информацию о количестве корней Т слева и справа от этого значения. Это и служит оправданием применения ” метода половинного деления” для поиска значения, обращающего определитель в нуль; при этом каноническое представление полинома Т оказывается ненужным!