Разностные схемы для уравнения теплопроводности с нелокальными граничными условиями

• Автор: Морозова, Валентина Алексеевна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с.

Содержание
0 Введение
0.1 Постановка задачи и обзор литературы
0.2 Содержание диссертации
1 Двумерная задача с нелокальными граничными условиями
1.1 Исходная дифференциальная задача
1.1.1 Постановка задачи
1.1.2 Метод разделения переменных
1.1.3 Теоремы существования, единственности и устойчивости
1.2 Построение и исследование разностной схемы
1.2.1 Построение разностной схемы
1.2.2 Исследование погрешности аппроксимации
1.2.3 Устойчивость и сходимость разностной схемы
2 Методы решения
2.1 Разделение переменных
2.2 Матричная прогонка в случае нелокальных граничных условий
2.2.1 Запись разностной схемы в векторном виде
2.2.2 Алгоритм нелокальной матричной прогонки
2.2.3 Устойчивость матричной прогонки
2.3 Тестирование
2.3.1 Тестовый пример
2.3.2 Результаты тестирования
3 Необходимые и достаточные условия устойчивости
3.1 Теоремы об устойчивости
3.1.1 Введение
3.1.2 Приведение к жордановой форме
3.1.3 Оптимальная норма в случае жордановой клетки второго
порядка
3.1.4 Устойчивость явной схемы
3.1.5 Схема с весами
3.2 Симметрическая часть оператора А
3.2.1 Сопряженный оператор
3.2.2 Симметрическая часть оператора А
3.2.3 Вычисление собственных значений
3.3 Задача на собственные значения для матрицы Ах = 0.5(А + А*)

3.3.1 Характеристическое уравнение
3.3.2 Численное решение характеристического уравнения
3.4 Численное исследование оператора нормы
3.4.1 Оператор нормы и критический шаг
3.4.2 Число обусловленности оператора нормы
4 Основные результаты. Библиография

Глава О Введение
§ 0.1 Постановка задачи и обзор литературы.
В главах 1 и 2 диссертации изучаются разностные схемы для задачи
.ди д ( , .ди д (, . ди
= Ш к1{х'У'г)дх) + ду Чх'У’%) -~ я{х,У, *)«(* у, 4) + /(ж, у, *) (0.1.1)
с граничными условиями ди
и(о,у,г) = и(1,у,г), ~(1,у,<) = о, о<» < 1, o (0.1.2)
и(х, 0, €) = и(х, 1, <) = 0, 0 < ж < 1, 0<4<Г (0.1.3)
и начальным условием
и(х,у,0) = щ(х,у), 0 < х,у < 1. (0.1.4)
Здесь }{х,у,£), р(х,у,£), д(х,у,Ь), щ(х,у) — непрерывные по своим аргументам функции, а к(х,у,£), к2(х,у,£) — непрерывно дифференцируемые функции. Предполагается, что выполнены условия параболичности
0 < г-1 < кх(х,у,£) <г2, 0 < г-з < к2(х,у,г) < г4
0 < я{х,у,Ь) < гь, 0 < 7-е < р(х,у,Ь).
Спецификой рассматриваемой задачи является наличие краевых условий первого рода по одной из переменных и нелокальных условий — по другой.

где т,к = 1,2
Обозначим Ьок(х,у,£) = г№(х,у)С№(І),
Ьтк{%і У>ї) = 2т—1 &(*£, У)С2т—1 2/)Сіт&()> кТП = 1,2,
и составим формальный ряд
ОО ОО ОО
и{х,у,г) = Е Ьйк(х,у,і) + 53 Е Ьтк{х,у,Ь). (1.1.24)
&=1 &=1 т
Подставляя выражение (1.1.24) в уравнение (1.1.6), учитывая со-
отношения
дггтк % д2г0к п дгг2т.1к
ду2 ~ Лктк, дх 2 —и, — 7т2т-1Ъ
2т к , Г7 ГУ
0,2 — — 47Г7ПІі2т—1 к ')т,2т к
и базисность системы получим, что функции Сок(і),
С2тк{і) должны удовлетворять уравнениям
дС2т к У. п
ЛкОок = и,
решениями которых соответственно являются функции
Сцк(і) = <Р0кЄХі сгтк{і) = ч>2тке-»тЬ т,к = 1,2
где коэффициенты (рок , 2т к будут определены далее, исходя из начального условия (1.1.9).
Функции С2т- к удовлетворяют уравнению
“ “Ь У’тк2т— 1 к — 2'УтС'2т к, Г7Ї, к — 1,2,
Решая это уравнение, найдем
С2т— іа() — (2т—1 /г ‘'/'ЧтїР‘2.тк)Є- , ГЦ, к ~ 1, 2,
Подставляя найденные функции в (1.1.24), получим
ОО ОО ОО
«(ж,г/,г) = Е <Рок2ок{х,у)е~Хк* + Е Е [£2т-и-(я,2/)(2т-іі-
к=1 &=1 т
— 2Ьу1/'Ут(Р2тк) "Ь *)Р2тк2тк{.'у 2/)] * (1.1.25)