Алгоритмы и машинно-независимый пакет программ Jinrlinpack решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений

• Автор: Душанов, Эрмухаммад Бердимурадович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 152 с.

Содержание
Условные обозначения
Введение
Цель работы
Актуальность работы
Состояние проблемы
Достоверность результатов
Научная новизна
Практическая значимость
Структура работы
Глава 1. Метод критических компонент для решения систем линейных алгебраических уравнений
1.1. О структурах представлений трехдиагональных и им обратных матриц
1.2. Метод критических компонент для численного решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений
1.3. Об итерационном уточнении решения “слабо” вырожденных систем уравнений, получаемого методом критических компонент
Глава 2. Алгоритмы обращения матриц и решения систем линейных алгебраических уравнений
2.1. Форматы представления вещественных чисел в различных типах ЭВМ
2.2. Алгоритм получения констант вещественной арифметики ЭВМ
2.3. Алгоритмы метода критических компонент решения систем линейных алгебраических уравнений вида АХ = У,С$Х — У, С^Х = У и обращения матриц, реализованные в программах ЬіпзузсстЗоІуег,ЬіпЗбзузсстБоІуег, біп24зузсстЗоІуег и РзеисІзузсстЗоІуег машинно - независимого пакета ЛШЬШРАСК
Глава 3. ЛМЫЫРАСК — машинно-независимый пакет программ на Фортране и результаты численных расчетов

3.1. Описание программы Ш1Т_ССШЗТ — получения констант вещественной арифметики ЭВМ и результаты тестовых расчетов
3.2. Описание программ 1лпзузсстБо1уег, 1лп2с1зузсстЗо1уег, Ы.пЗс1зузсстЗо1уег и Рзеис1зузсстЗо1уег — решения систем линейных алгебраических уравнений С^Х =
У, С$Х = У и АХ = У и результаты тестовых расчетов
3.3. Результаты численных экспериментов и их анализ
3.4. Тексты программ Ып.2с1зузсстЗо1уег, ЫпЗс1зузсстЗо1уег, ИпэузсстЗоЛег, Рзеис1зузсстЗо1уег, Ш1Т_ССШЗТ, СТЕХР, СНЕХР машинно-независимого пакета ЛШЬШРАСК на Фортране-

Основные результаты полученные в диссертации
Список литературы

Условные обозначения и определения:
С2,С3 — вещественные (порядка т) двух и трехдиагональные матрицы общего вида.
В — обратная к С% матрица.
А — вещественная (порядка т х п или т) матрица общего вида.
бе!(И/Г),сопс1(И;’) —- определитель и число обусловленности матрицы IV, где = С2; Сз; А — порядка т.
А, Д — ведущие верхние и нижние угловые миноры матрицы С3.
!№ = (£ е К-|2)1/2 — евклидова норма матрицы ¥.
i=lj=

[ Ичи, = тах Е wijl — максимальная строчная норма матрицы ]У.
1<г<тг~
\WJC — У|| — норма {¥Х — У) - невязки вычисленного решения X системы ¥Х = У.
/3, /, и, £, ^оо) £(Ь £1 — машинные константы данной ЭВМ:
/3 — основание системы счисления,
(I < 0, и > 0) — нижняя и верхняя границы порядков представления нормализованного числа в ЭВМ,
£ — число /3-ичных разрядов, отведенных для хранения мантиссы числа в ЭВМ,
£оо — максимальное число, представимое в данной ЭВМ, отличное от “машинной” бесконечности,
£о — минимальное число, представимое в данной ЭВМ, отличное от “машинного” нуля,
£ — относительная погрешность вычислений с нормализованными числами данной ЭВМ.
Глава 1.

подробно приведен в [3] и там же показано, что этот метод следует из метода (1)° ■# (5)°.
Оценка (1.2.12) для системы (3) приобретает тогда следующий

ЦСУГ+ - Щ < II С2В-ВЦ . uni < тах Ы + Д.
гле г = тах ( ! г, | ;, р = тах('| В,, Jl/2 ÊUt - i»+i), (L2-19)
2 <г<т i,j;k у к=
Il = m,ln+1 = 0,0 < Д < /г||Х+|| 4- S.

Здесь Bij — элементы верхнетреугольных матриц, обратных к хорошо
обусловленным двухдиагональным матрицам [С,2]/*+1+
Замечание 1.2.3. Отметим, что в силу ортогональности матриц Р и Q (в преобразованиях (1.2.1)) для норм ||AZ+ — F\ невязки имеют место оценки
ÎWÂZ+-FW < £iTp7 I5tl + если А = Ат,
||ÂZ — F|| < £ifp7 max |ÿ;| + Д, если A ф AT, (1.2.20)
l где f,p,7 и f,p,7 определены аналогично (1.2.12) и (1.2.19), 0 < A < /г||^+|| + J.
Замечание 1.2.4. Вышеприведенные оценки (1.2.12), (1.2.19) и (1.2.20) могут быть использованы и для задач (псевдо) обращения, т.е. нахождения С}, С} и А+. При этом матрицы Cf, и А+ следует получать в результате решения методом кри-
тических компонент матричных систем уравнений WX = £, где W : Сз, Ci и А. Не следует брать, если системы (1), (2) и (3) плохо обусловлены, в качестве X : С3, С и А+ матрицы, полученные в результате решения методом критических компонент при решении этих систем уравнений с конкретно заданной правой частью Ei — [0,..., 0,1,-, 0,..., 0]г. Это связано с тем, что нормы матриц С3 ,С% и А+ согласованы с нормами конкретных векторов-столбцов Ei системы WX = Ер.
Основные результаты параграфа 1.
Разработан новый эффективный метод решения систем линейных алгебраических уравнений с трехдиагональными и двухдиагональными матрицами, получивший название [85-88] метода критических компонент.
Приведена теорема [88], которая гарантирует получение методом критических компонент единственного устойчивого решения “слабо” вырожденных (ФеЦСз) = 0, если Am+i = 0 = Go) и плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений.