Полугрупповая координатизация решеток

• Автор: Запатрин, Роман Романович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 44 с.

Введение
Восходящая к античной математике проблема координатизации была в явном виде сформулирована Г.Биркгофом для геометрических решеток как проблема представления их ’’замкнутыми” подмножествами некоторой алгебраической системы, например, подпространствами или ’’плоскикми подмножествами” векторного или аффинного пространства [1]. Для булевых алгебр исчерпывающее решение этой проблемы было найдено М.Стоуном, установившим взаимно однозначное соответствие между булевыми алгебрами и вполне несвязными компактными Дг пространствами [2].
Помимо своего чисто алгебраического контекста, проблема координатизации возникает еще и в логике и в теоретической физике. В рамках логики булевы алгебры являются стандартными моделями для классических исчислений высказываний. Вопросы, возникающие в теории неклассических логик, потребовали развития алгебраических методов анализа их моделей. В 1936 году появилась статья Г.Биркгофа и Дж. Фон Неймана ”0 логике квантовой механики” [3], в которой был проведен анализ наблюдаемых свойств квантовомеханических систем. Они указали, что простейшая проверка дистрибутивности для алгебры свойств основывается на перестановочности и повторяемости физических наблюдений, что, в свою очередь, противоречит квантовой механике, математическая структура которой описывает свойства квантовых систем как замкнутые подпространства гильбертова пространства. Отправляясь от эвристических соображений об аналогии с решеткой всех замкнутых подпространств, они предположили ’’ослабленную булевость” решетки свойств физической системы. Это свойство было названо ортомодулярностью (см. ниже Определение 7).

Проблема координатизации ортомодулярных решеток была решена Д.Фулисом [4,5]. Он установил взаимно однозначное соответствие между ортомодулярными решетками и решетками замкнутых проекторов бэро-вских полугрупп (бэровская полугруппа — это мультипликативная полугруппа кольца с единицей, каждый левый аннулятор которого порожден идемпотентом, такие кольца также называются бэровскими [6,7]).
Недавние исследования в области квантовой гравитации привели к рассмотрению более общих решеток свойств, которые могут не обладать и свойством ортомодулярности [8,9,10]. Проблеме координатизации некоторых классов решеток и посвящена настоящая диссертация. Изложение структурировано следующим образом.
В Главе 1 вводятся основные определения и понятия.
В Главе 2, применяя методы, разработанные Фулисом в [4], коорди-натизируются атомарно порожденные полные орторешетки: для любой такой решетки L строится полугруппа S(L) такая, что L изоморфно решетке левых аннуляторов полугруппы S(L). Согласно Фулису [4], полугруппа S(L) была построена из эндоморфизмов решетки L, что делало такую конструкцию неэффективной.
В Главе 3 построено представление полугруппы S(L) открытозамкнутыми бинарными отношениями на множестве атомов решетки L. При таком представлении композиция двух эндоморфизмов из S(L) переходит в замыкание обычного произведения отношений на множестве атомов решетки L, а частичный порядок на S(L) переходит в теоретикомножественное включение отношений.
В Главе 4 координатизируется более общий класс решеток — так называемые САС (complete atomistic coatomistic) решетки, т.е. полные решетки L такие, что каждый их элемент может быть представлен как

сумма атомов, равно как и пересечение коатомов решетки Ь. В частности, все решетки, рассматриваемые в [8], попадают в класс САС. Используемые при этом вполне 0-простые рисовские полугруппы позволяют кооординатизировать и произвольные конечные решетки.
Результаты, представленные в Главах 2,3, опубликовании в [11], а результаты Главы 4 — в [12,13].
Глава З

Обозначим через Б множество всех (-)++-открытых элеменов Е:
8 = {ЯеЕ|Я = Я++} (19)
при этом из (16) немедленно следует, что для любого ф ё б'(Г) отношение Иф будет всегда (-)++-открытым. Более того, верно и обратное:
Лемма 14 Для любого Я € 5 отображение фц будет элементом 3(Ь).
Доказательство.Пусть £} — Я+, положим ф = фя,ф = фс}. Как (,), так и Я являются элементами Е, и поэтому, согласно лемме 11, Я = Яф и <5 = Лф. Как , так и Я лежат в Б, значит (О0* и Я0* суть элементы Е. Тогда <5 = Я+ влечет Я0* = <5°. Из леммы 12 следует, что для любых и, V 6 V
и < (иф)' V < (и>
Тогда и первое из условий (9) имеет место, поскольку решетка Я атомарно порождена:
(аф)'ф = (б{(иф)'и < а})<> < Д{(ы1 и < а} < а' а второе из условий (9) доказывается аналогично.

Б есть подмножество полугруппы бинарных отношений на V. Помимо этого, 8 наследует полугрупповую структуру из Я(Я). Заметим, что произведение двух элементов Е как бинарных отношений может уже