Об исключительных множествах в бинарных аддитивных задачах с простыми числами

• Автор: Чэнь Чжун-и
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 63 с.

Оглавление
1 Две бинарные задачи с простыми числами
1.1 Постановка решения
1.2 Преобразование интеграла основного класса
1.3 Вспомогательные леммы (I)
1.4 Вспомогательные леммы (II)
1.5 Оценка сверху интеграла в остатке
1.6 Мощность исключительного множества другой
задачи
2 Особые множества на коротких промежутках
2.1 Задача типа ” р + [/Зд] ”
2.2 Задача типа ” р + [дс] ”
Введение
Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел. В ней рассматриваются задачи об исключительных множествах в бинарных аддитивных проблемах, которые затем распространяются на короткие промежутки. Под понятием ” короткого промежутка” мы имеем в виду, что отношение длины короткого промежутка к основному параметру стремится к нулю при росте этого параметра к бесконечности. А слово ” исключительное множество” означает ту совокупность чисел, которые не допускают заданного представления.
В 1742 году было выдвинуто два предложения, связывающие целые числа с простыми числами. Они звучат так :
(А) каждое нечетное число, превосходящее 9, представляется в виде суммы трех нечетных простых чисел;
(Б) каждое четное число, превосходящее 6, представляется в виде суммы двух нечетных простых чисел.
Несмотря на то, что математики не могли доказать эти два предложения, большое количество вычислительных опытов подтверждает, что вероятно, они имеют место. Эти два предложения и получили называние ”проблема Гольдбаха-Эйлера”.
В течение 250 лет они постоянно привлекали и привлекают внимание самых выдающихся математиков. Благодаря этому были развиты новые важнейшие методы в области аналитической теории чисел.
И только в 1937 году И. М. Виноградов [5, б] впервые получил нетривиальную оценку тригонометрической суммы по про-

етым числам, а затем с помощью кругового метода Рамануджана-Харди- Литтлвуда-Виноградова доказал, что каждое достаточное большое нечетное число является суммой трех нечетных простых чисел. Точнее говоря, И. М. Виноградов получил асимптотику 1(п) числа решений уравнения
и = Р + V 2 + Р'Л-где р|, р2, и рз простые числа. Он доказал, что
/(п) = 1етз(„) + о(),

»Я») = £ 7ГГТС,(-ЛГ) = П(1—7—Ц«) П (1+7—Цій > 3'
я=фч) рп (Р-1Г(р
Это в основном решило первое предложение. Метод И. М. Виноградова имеет глубокое значение. Он позволил его последователям получить дальнейшие результаты о представлениях целых чисел простыми числами.
Однако второе предложение, часто называемое бинарной про-блемой Гольдбаха-Эйлера, до сих пор остается нерешенным. Ученые пытаются с разных направлений подойти к этому предложению. В частности, один из этих способов состоит в разложении четного числа в виде суммы простого и составного чисел. В этом направлении самого большого успеха достиг Чень Джин-рун [15] . Он создал свой метод решета с весами и доказал, что любое достаточно большое четное число является суммой простого числа и произведения, в которое входят не больше двух простых чисел.
Другой важной задачей является определение верхней границы мощности исключительных множеств бинарной проблемы Гольдбаха-Эйлера, т.е. множества четных чисел, непредставимых в виде суммы двух простых чисел. Решение тернарной
1.6. МОЩНОСТЬ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА ДРУГОЙ ЗАДАЧИ
В частности, если число (3 имеет ограниченные неполные частные, то £ = 0.
Сведем полученные нами оценки к следующей лемме. Лемма 22. Пусть (3 > 0 « 2 < g < ж®, тогда имеем

Vo(a,x)= Y e(a[(3q])ogq -С ж5(In ж)3'5,
x<[0q]< 2х
если неполные частные иррационального числа (3 ограничены в совокупности ;
Vo (а, ж) = Y е(а'[/3д]) log q < зТ+е,
x<[0q]< 2х
если число (3 - иррациональное алгебраическое число.
Итак, применим лемму 22 во втором случае при маленьких знаменателях q, получим нужную оценку для величины тгсХаЕп F (а). Таким образом мы завершили оценку для | ./21. Теорема 1 полностью доказана.
1.6 Мощность исключительного множества другой задачи
Теорема 2. Пусть (3 > 0, d и а натуральные числа , Т?(х) количество чисел п на промежутке (2.x) не представимых в виде
и = [$р] + Ш
где р и q - простые числа.
Тогда при х —» оо, справедливы следующие оценки :
(а) если неполные частные иррационального числа (3 ограничены в совокупности, то
Тъ(х) < a(logx-)8