Структура жордановой плоскости

• Автор: Шириков, Евгений Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с.

Оглавление
1 Квантовая плоскость и жорданова плоскость
1.1 Определение и общие свойства
1.2 Классификация 2-порождёиных
градуированных алгебр
1.3 Тело частных жордановой плоскости
2 Первичный спектр и автоморфизмы жордановой плоскости
2.1 Определение и общие свойства
первичных идеалов
2.2 Некоторые леммы о многочленах
2.3 Простые идеалы
кольца многочленов от двух переменных
2.4 Общие свойства двусторонних идеалов
жордановой плоскости
2.5 Первичный спектр жордановой плоскости над полем нулевой характеристики
и классификация центральных
2-порождспных градуированнных алгебр
2.6 Первичный спектр жордановой плоскости
над полем положительной характеристики
2.7 Продолжение простого идеала центра
до первичного идеала алгебры
2.8 Автоморфизмы жордановой плоскости
2.9 Автоморфизмы конечного порядка
3 Представления жордановой плоскости
3.1 Основные определения
и общие утверждения
3.2 Конечномерные неприводимые
представления жордановой плоскости

3.3 Бесконечномерные неприводимые
представления жорданокой плоскости
3.4 Представления алгебры Вейля
4 Нормирования жордановой плоскости
4.1 Нормирования:
определение и общие свойства
4.2 Примеры нормирований
жордановой плоскости
4.3 Абелевость нормирований
жордановой плоскости
5 Алгебра дифференцирований жордановой плоскости
5.1 Дифференцирования
жордановой плоскости
5.2 Алгебра внешних дифференцирований
жордановой плоскости
5.3 Ограниченная алгебра Ли дифференцирований
жордановой плоскости
5.4 Алгебраические дифференцирования
5.5 Косые дифференцирования
5.6 Алгебраические косые дифференцирования

Введение
Данная диссертация посвящена исследованию жордановой плоскости — алгебры с единицей над полем К., порождённой элементами X и У с определяющим соотношением YX = XY + У2. Интерес к изучению жордановой плоскости обусловлен следующими классификационными
результатами: рассмотрим ассоциативные 2-порождснные градуированные

алгебры А — © Ап. где А$ = К — поле, А = (А", У) — линейная оболочка

порождающих X и У. Пусть та, к же алгебра А не имеет делителей нуля и dimH2 = 3. Легко видеть, что алгебра коммутативных многочленов от двух переменных К[АГ, У] с определяющим соотношением YX = АГУ удовлетворяет этим условиям, так что рассматриваемые алгебры являются деформацией алгебры К[АГ, У]. Мы доказываем (теорема 1.15, теорема 2.32), что при некоторых дополнительных ограничениях алгебра А является либо жордановой плоскостью, либо квантовой плоскостью, т.с. порождается элементами А и У с определяющим соотношением У А' = ААУ для некоторого А € К*.
Подобные “деформированные” алгебры широко изучаются в современной математике, при этом решаются следующие задачи. Во-первых, рассматриваются классические, “кольцевые” вопросы — первичный спектр, автоморфизмы, нормирования, представления, тело частных. Здесь ключевую роль играет описание первичного спектра, что существенно упрощает решение остальных задач. Так, при описании автоморфизмов мы пользуемся тем, что любой автоморфизм “переставляе'г” первичные идеалы. При изучении нормирований важную роль играет идеал нормирования, который является вполне первичным идеалом. При изучении неприводимых представлений мы пользуемся тем фактом, что аннулятор неприводимого модуля всегда есть первичный идеал. С другой стороны, изучение “деформированных” алгебр важно для исследования алгебр Хопфа: а именно, подобные алгебры рассматриваются как “некоммутативные пространства”, па которых алгебры Хопфа действуют [12], [16], [31], [36]. С этой точки зрения интересно описание автоморфизмов конечного

ф,(У) € К[У], где 0гги?7 = д(тос1р), 0 < д < р — 1. Окончательно имеем: / = £ Х1рфф¥р)уч = (Е Х{рг~ф(У»)) уч = /(Хр, Ур)уч, где
2=0 г=0 )
/(Хр, Ур) = Е Хгр'ф1(Ур) Е .£(Л2(К)). Утверждение 2.24 доказано

полностью. □
Следствие 2.25. Пусть I — собственный идеал алгебры, Л2(К). Тогда I П У(Л2(Ж)) ф (0), т.е. любой собственный идеал алгебры А г (К) .является продолжением некоторого собственного идеала подалгебры 2"(Л2(К)).
Отметим, что по минимальному многочлену мы не всегда можем однозначно восстановить идеал. Например, / = Ур является минимальным многочленом идеалов (Ур) и (ХР,УР). Однако по минимальному многочлену мы можем восстановить некоторые свойства идеала.
Утверждение 2.26. Пусть I — собственный идеал алгебры Л2(К), / = ф(Хр,Ур)Уч — его минимальный многочлен, где /(£/, V) £ К[С/, V]. Пусть также 6(1/, V) — делитель многочлена, /(С/, V) в кольце К[У, V], причём цк(и,У) ) 1 в многочлен Л (У, V) не имеет нетривиальных делит,елей в кольце К[У]. Тогда I С (к(Хр, Ур))-
Доказательство. Пусть д £ I. По утверждению 1.5 в кольце ЩУ)[Х, 5] мы можем справа поделить с остатком д на /: д = /в + £, где вф 6 К(У)[Х, <5], причём (1е§'Л-1 < degxf Существует такой многочлен ф(У) £ К[У'Г], что зф(У) £ Л2(К) и 1ф(У) £ Л2(К). Тогда дф{У) — /щ/>(У) + 1ф(У), откуда Ьф{У) £ I, причём Следовательно, но определению
минимального многочлена £ = 0, т.е. дф(У) = /зф(У) = /(Хр,Ур)УЧзф(У). Обозначим гг = У‘!зф(У) £ Л2(К). Итак, мы доказали, что для любого д £ / существуют такие ф(У) £ К[У] и го £ Л2(К), что дф(У) — Ц(Хр,Ур)ги.
Так как любой элемент ги £ Л2(К) можно единственным образом записать в каноническом виде т(Х, У) — Е &цХгУК то можно корректно определить изоморфизм линейных пространств
р:А2(К)К[ХиУ1], р (Е сьзХ*У* ) = Х>,рфу
Образ элемента ги(Х,У) при отображении р мы. чтобы не вводить новых обозначений, будем обозначать как 'ш(Х .Ух). Отображение р не являе'гся гомоморфизмом алгебр, однако нетрудно проверить, что
р(д(Х,У)ф(У))=д(Х1,У1)ф(У1),