Резольвенты и когомологические свойства самоинъективных алгебр

• Автор: Иванов, Сергей Олегович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 114 с.

Содержание
Введение
1 Основные определения и конструкции
1.1 Предварительные замечания
1.2 Бимодульная резольвента и
когомологии Хохшильда
1.2.1 Бимодульная резольвента
1.2.2 Бимодульная резольвента групповой алгебры
1.2.3 Алгебра когомологий Хохшильда
1.3 Самоинъективные алгебры путей колчана с соотношениями
1.3.1 Алгебры путей колчана с соотношениями
1.3.2 Самоинъективные алгебры
1.3.3 Функторы двойственности относительно алгебр
1.3.4 Функторы Накаямы
1.3.5 Дополнительные структуры на фробениусовых алгебрах
1.3.6 Дополнительные структуры на фробениусовых алгебрах путей колчанов с соотношениями
1.4 Стабильная Калаби-Яу размерность
1.4.1 Стабильная категория модулей
1.4.2 Стабильная Калаби-Яу размерность самоинъектив-
ной алгебры
2 Функторы Накаямы и теоремы
Эйленберга-Уотса
2.1 Вспомогательные технические утверждения
2.2 Теорема Эйленберга-Уотса
2.3 Приложение к функторам Накаямы

3 Алгебры стабильной Калаби-Яу размерности три и семейство Г)ТТ-еоотношений
3.1 Начальные члены минимальной проективной бимодульной
резольвенты алгебры
3.2 БТІ-семейство соотношений
3.3 Стабильная Калаби Яу размерность алгебр с БТІ-семей-
ством соотношений
3.4 Алгебры Накаямы А при п | т +
3.5 Алгебры кватернионного типа
3.6 Еще один пример алгебры, допускающей БТІ-семейство соотношений
3.7 Бимодульная резольвента самоинъективной алгебры с БТ1-
семейством соотношений
4 Когомологии Хохшильда алгебр серии -.‘(2А4)1 над полем характеристики два
4.1 Описание алгебры когомологий
4.2 Бимодульная резольвента
4.3 Аддитивная структура
4.3.1 Дифференциал с)1
4.3.2 Дифференциал
4.3.3 Дифференциал
4.4 Мультипликативная структура
Список литературы

Введение
Хорошо известно, что одним из эффективных способов исследования математического объекта, является изучение различных его (ко)гомологических инвариантов. В настоящей работе объектами исследования являются некоторые типы самоинъективных алгебр. Оказывается, что большая часть всей (ко) гомологической информации об алгебре А содержится в ее бимодульной резольвенте (проективной резольвенте бимодуля А). Причем, если бимодульная резольвента минимальна, то эта информация содержится в ней в наиболее компактном и “выпуклом” виде. В бар-резольвенте эта информация содержится, напротив, в наименее четкой форме. Этого принципа — смотреть в первую очередь за поведением бимодульной резольвенты при изучении гомологических инвариантов алгебры — мы будем придерживаться на протяжении всей работы.
Теперь скажем несколько слов про каждую главу в отдельности.
В первой главе вводятся необходимые определения и конструкции, которые нам понадобятся в дальнейшем. Кроме того, там есть несколько результатов полученных автором, но которые уместно было предъявить именно в этой главе. К результатам автора относится теорема 1.5 пункта 1.2.2, который посвящен тому, чтобы научиться явным образом предъявлять свободную бимодульную резольвенту групповой алгебры ЯС (над произвольным коммутативным кольцом Я), имея в наличии свободную резольвенту тривиального модуля Я. Этот факт напоминает лемму Хаппеля для конечномерных алгебр над полем, но он гораздо лучше, так как позволяет предъявить не только бимодули бимодульной резольвенты, но и дифференциалы. Кроме того, к результатам автора относятся результаты подпунктов 1.3.3 и 1.3.6, в первом из которых обсуждается контравариантный функтор двойственности относительно алгебры на категории бимодулей, а

мы построили функтор mod-A -» mod-А. Ясно, что все проективные модули обнуляются этим функтором, следовательно, он пропускается через функтор 12 : mod-A -* mod-A, который и называется функтором сизигий.
В силу того, что имеет место изоморфизм категорий bimod-A ё mod-Ae, мы можем провести аналогичную конструкцию и для категории бимодулей и рассмотреть соответствующий функтор сизигий 12до : bimod-A -> bimod-A.
На самом деле, в определении функтора сизигий можно считать, что Рм —» М не проективное накрытие, а просто некоторый эпиморфизм из проективного модуля. При таком определении получающийся функтор будет изоморфен обычному функтору сизигий. Но принято считать, что Рм -» М все-таки проективное накрытие, чтобы в модуле 12(М) не было проективных слагаемых (которые в стабильной категории все равно изоморфны нулю).
Таким образом, чтобы вычислить 12П(М) с точностью до изоморфизма в стабильной категории, достаточно рассмотреть некоторую проективную резольвенту Р. М и рассмотреть Кег(е?£). Но как уже говорилось такие резольвенты можно выбрать у всех модулей функториальным образом, если рассмотреть бимодульную резольвенту Р. -» А. А именно, комплекс Р. ®а М будет проективной резольвентой модуля М. Отсюда вытекает следующее утверждение, которое дает нам удобный функториальный способ для вычисления 12п.
Лемма 1.15. 12" = -<§>л12дс(А).