Формулы для числа решений уравнений марковского типа в конечных полях

• Автор: Баулина, Юлия Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 87 с.

Оглавление
Обозначения
Введение
Глава 1. Уравнение [х + ■ • • + хп)2 = ах • ■ • хп
§ 1. Некоторые тригонометрические суммы и их свойства
§ 2. Выражение Nq через суммы Гаусса и точные формулы для
Nq при (п — 2, q — 1) = 1 и (те — 2, q — 1)■=
§ 3. Случай (п — 2, q — 1) — d, d > 2, d | pl +
§ 4. Случай (те — 2, q — 1) =
§ 5. Случай (те — 2, g — 1) =
§ 6. Случай (n — 2, q — 1) = 8, p = 5 (mod 8)
§ 7. Случай (n — 2, q — 1) = 8, p = 3 (mod 8)
§ 8. Случай (те — 2, q — 1) = 8, p = 1 (mod 8)
Глава 2. Уравнение ajxf + • ■ • + anx2n — bx ■ ■ ■ xn
§ 1. Сумма Т(ф) и ее свойства

3. Случай [те — 2, ^ == d, d > 1, 2d | pl +

§ 2. Выражение Nq через суммы Т(ф) и случай [ те — 2, У— )
4. Случай ( те — 2, У-— ] =
§ 5. Случай ( те — 2, У-— 1 = 4, р = 5 (mod 8)

§ 6. Случай — 2, ^ = 4, р = 3 (mod 8)
§ 7. Случай (п - 2, “ 4’ р = 1 (mod
§ 8. Случай m = —, Гп — 2, -Ц^—= d, d | pl + 1, 2d n — 2 . . . . 74 § 9. Случай m = —, in — 2, —j =

Литература

Обозначения

Тг^г/Р,(ж)

ІПС^ X

(к, п)
конечное поле из д элементов
группа ненулевых элементов конечного поля ¥д
след элемента х Є над полем Рд
норма элемента х Є над полем ¥д
тривиальный мультипликативный характер поля ¥д
квадратичный характер поля (в случае нечетного
символ Лежандра элемента х по модулю р индекс элемента х при основании д множество натуральных чисел наибольший общий делитель целых чисел кип число сочетаний из п по к
Кроме того,
L= (’■) iS-ад-p)J
k=0 ' '

= (-1)НЧЁ0 = (modp).

Отсюда получаем, что p L и 2М = (-i)!-1Lo(7^ +7^) E (fe)Lo"*(^o ~p)¥

^ (-1)Г'д(9¥+s^)i:(t)

he + /^) = + g^) (mod p).
Лемма доказана. □
Теорема 1.9. Пусть (п - 2, q - 1) = 8 и р = 3(mod 8). Тогда Nq = qn~l - 1 - r}(a)q^ + (-l)^“1 • 2q^T + 4g^Ti, где. T — 1, если a - биквадрат в Fg; T = — 1, если a - квадрат, но не
биквадрат в Fg, Т = 0, если а не является квадратом в Fg,
г’=£(! V?-‘(-2M2)t,
I—л V /

если а - восьмая степень некоторого элемента поля Fg,

2 /п

k=о 2|fc
Д = -Ец
если а - биквадрат, но не восьмая степень в Fg,
Ті = 0,