Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций

• Автор: Семенова, Ирина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Киров
• Количество страниц: 78 с.

Содержание
0.1 Введение
1 Конгруэнции на полукольцах
1.1 Полукольца и полу тела
1.2 Конгруэнции на полукольцах с аддитивным сокращением
1.3 Упорядоченные полутела
2 Конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций
2.1 Фактор-полукольца полукольца С+(Х) непрерывных неотрицательных функций
2.2 Предмаксимальные конгруэнции на полукольцах С+ (X) непрерывных неотрицательных функций
3 Конгруэнции на полуполях непрерывных положительных
функций
3.1 Главные конгруэнции на полуполе и(Х) непрерывных положительных функций
3.2 Максимальные конгруэнции на полуполе и(Х) непрерывных положительных функций
3.3 Когда все конгруэнции на полуполе и(Х) идеальны ?

3.4 Конгруэнции и строго выпуклые мультипликативные подгруппы в по л у поле и(Х)
3.5 О решетке конгруэнций на полуполе II(X)
Литература

0.1 Введение
Диссертация посвящена разделу функциональной алгебры - полукольцам непрерывных функций. В ней исследуются конгруэнции на полукольцах непрерывных действительнозначных функций.
Пусть X - произвольное топологическое пространство. Рассматривается полукольцо С+(Х) всех непрерывных неотрицательных функций и полуполе II(X) всех непрерывных положительных функций на X с поточечно определенными операциями сложения и умножения. Их кольцом разностей служит кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций, заданных на пространстве X.
Изучение колец С{Х) началось во второй половине 30-ых годов XX века с работ М. Стоуна [25] и И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова [10]. По теории колец непрерывных функций имеется большая библиография. Назовем монографию Гиллмана и Джерисона [22] и обзорные работы Е.М. Вечтомова [6,7,26,27]. Полукольца С+(Х) встречаются в литературе с 1955 г. [24,11,23]; они систематически изучались в диссертации В.И. Варанкиной [3] (см. также [2]). Полуполя 11{Х) - новый алгебраический объект, изучение которого ведется с 1995 г. на алгебраическом семинаре Вятского госпедуниверситета [7,29,31-33].
В кольцах существует естественное взаимно однозначное соответствие между конгруэнциями и идеалами, в полукольцах же этого соответствия нет. Так, в полуполе II(X) нет несобственных идеалов, но достаточно много конгруэнций. Впервые конгруэнции на полукольцах С+ (X) для тихоновских пространств X рассматривались в статьях [20,21] Сначала авторы показали, что пространство всех максимальных среди сократимых конгруэнций на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской ком-пактификации X. Во второй работе было доказано, что пространство

Предложение 1.3.16. Если упорядоченное полутело S (с нулем или без нуля) вычитаемо, то любой класс произвольной конгруэнции на S -выпуклое множество.
Доказательство. Пусть а, 6, с из S таковы, что а < Ъ < с и арс для некоторой конгруэнции р. Достаточно показать, что apb. Так как а < b и b < с, то по условию а+х ~ ЬиЬ+у = с для некоторых х,у £ S, причем х ф 0, у ф 0. Тогда а < с, а + х + у = с и ж + у Д 0. Отсюда следует, что х~1 (ж + у)у-1 = у-1 + ж-1 Д 0. Тогда имеем (ау-1 + аж-1)р(су-1 -f аж"“1) и су-1 + аж-1 = (6 + у)у-1 + ax~l = by1 + 1 + аж-1 = Ъу~1 + жж-1 + ах~1 — Ьу~1 + (х+а)х~1 = by~1+bx~1 — Ь(у~1+х~1). Откуда а(у-1+ж-1) у&(у-1 + ж-1), и после домножения справа на (у-1 + ж-1)-1 получим apb.
Предложение 1.3.17. Если S - вычитаемое линейно упорядоченное полутело без нуля, то допустимые подгруппы в S - это в точности его выпуклые нормальные мультипликативные подгруппы.
Доказательство. Пусть S - вычитаемое линейно упорядоченное полутело без нуля. Любая допустимая подгруппа в S является классом 1 некоторой конгруэнции на S (предложение 1.1.6), значит, по предложению 1.3.16 она выпукла.
Обратно, рассмотрим выпуклую нормальную подгруппу G в (5,-). Докажем, что G допустима. Для этого возьмем g £ G и а,Ь £ S так, чтобы а + Ъ — 1. Если у < 1, то
g = (а + Ъ)д = ад+ Ьд< ад+ b откуда ад + Ь £ G в силу выпуклости G.
Если же 1 < у, то
1=а + Ь< ад+ Ь< ад+ Ъд= (а + Ь)д = у,