Алгебра регулярных функций на квантовых M х N -матрицах

• Автор: Мосин, Владимир Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 90 с.

Содержание
0.1 Определения и примеры
0.2 Структура работы
1 Алгебра регулярных функций на квантовых тхп-матри-

1.1 Алгебра Мд
1.2 Квантовые миноры
1.3 Соотношения в Mq
2 Тело частных алгебры Mq
2.1 Тело F
2.2 Размерность Center F
2.3 Образующие Center F
3 Алгебра С,[К]
3.1 Мультипликативные множества в Mq, порожденные квантовыми минорами
3.2 Алгебры Cq[V) и А
3.3 Лемма о главном g-миноре
3.4 SpecCJP] и Spec А
4 Разбиение SpecCjP]
4.1 Идеалы Pw и мультипликативные множества Sw
4.2 Разбиение Spec А,
4.3 Разбиение SpecCjV]
5 Алгебраическая структура алгебр Aw
5.1 Алгебры Aw и Аш

5.2 Алгебра Ає
5.3 Лемма о разложении подстановки
5.4 Скрученность алгебр Aw
6 Центральные элементы алгебр Aw и Aw
6.1 Центральные мономы в Aw
6.2 Center Aw и Center Aw
7 Размерность центра
7.1 Z-матрица алгебры Aw
7.2 Размерность Center Aw
8 Биекция между примитивными идеалами в С9[У] и сим-плектическими листами в V
8.1 Пуассоновы алгебры, ассоциированные с деформациями
8.2 Алгебра С [У]
8.3 Теорема о биекции
8.4 Размерность симплектических листов
9 Некоторые смежные вопросы
9.1 Первичные и примитивные идеалы в алгебре регулярных
функций на квантовом векторном пространстве
9.2 Первичные и примитивные идеалы в алгебре регулярных
функций на квантовой матричной полугруппе

Введение
Квантовые объекты (группы, полугруппы, векторные пространства), появившиеся в начале 80-х годов в работах Ю. И. Манина, Н. Ю. Реше-тихина, JI. А. Тахтаджяна, JI. Д. Фаддеева и др., привлекают сегодня внимание многих математиков, и обширная библиография работ, посвященных этой теме (насчитывающая по некоторым оценкам до тысячи наименований), свидетельствует о высокой ее популярности.
В настоящей работе мы квантуем прямоугольные т х тг-матрицы, совмещающие с одной стороны свойства матричных полугрупп (в случае т — п), и, с другой стороны — свойства векторных пространств (в случае т = 1). Мы развиваем два сюжета.
• Первый сюжет — изучение тела частных Т алгебры Л4Ч регулярных функций на квантовых т X тг-матрицах и описание поля его центральных элементов. Мы вычисляем степень трансцендентности поля Center Т и выписываем явно его образующие.
• Второй сюжет — первичные и примитивные идеалы алгебры CJV] (здесь С3[У] — алгебра регулярных функций на квантовых т х тг-матрицах, невырожденных в том смысле, что все их миноры максимального порядка отличны от нуля). Мы доказываем теорему о биекции между примитивными идеалами в C9[V] и симплектическими листами в V и вычисляем размерность каждого симплектического листа.
Наша техника состоит в том, что изучение тела Т мы сводим к изучению некоторого тела скрученных рациональных функций, а изучение первичного (примитивного) спектра алгебры Cg[V] — к изучению первичных (примитивных) идеалов некоторых алгебр скрученных лорановских многочленов (см. раздел 0.1, где даны определения и описаны свойства таких

равносильна тому, что для любого целого і выполнено ау- + = 0.
Поэтому
«О &<1 -(ті+пі — 1)сЬ
О I &с1+1 &1+(ті —1)еЬ
(2.8)
СН-Ц— 1 — Г2<1—1 — — га+п— 1*
Система (2.8) допускает следующую фундаментальную систему решений /о
1 _ -,(*0 = _п,(к) — — ((к)
1 ак ак+<1 ' ' V к+(т1+пі-1)с11

а) — 0 для остальных г.
Мономы, построенные по этим фундаментальным решениям совпадают с г0,и являются системой образующих центра тела Т. Теорема доказана.
Следствие 2.3.5 В случае т = п цент.р тела рациональных функций на квантовой группе является чисто трансцендентным расширением поля С степени п. В качестве системы образующих можно взять систему элементов
СоС-1 = (сіеі)-1, СгСфІ,

2п—1 *
Следствие 2.3.6 Пусть т = 1. Центр тела рациональных функций на п-мерном квантовом. векторном пространстве скалярен для четного п. Для нечетного п = 2к + 1 центр порождается единственным, элементом
ХХ2 Ж3