Алгебры общих элементов

• Автор: Ильтяков, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 142 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Инварианты групп автоморфизмов
1. Алгебры общих элементов
2. Аффинные системы
3. Рациональные инварианты
4. Порождающие полиномиальные инварианты
5. Оператор Лапласа
6. Доказательство теоремы
7. Инварианты простых групп
Глава 2. Проблема рациональности
1. Предварительные результаты
2. Расширение
3. Список порождающих
4. Метод сечений
5. Алгебры и В„
Глава 3. Теорема Кемера
1. Алгебры общих элементов
2. Линеаризация
3. Специализация некоммутативных многочленов
4. Разложение идеалов тождеств
5. Проблема Шпехта
6. Конечномерное вложение
7. Представимость относительно свободных алгебр
Глава 4. Тождества представлений алгебр Ли
1. Теорема
2. Тождества Капелли
3. Обобщенные лиевы модули
4. Каноническое разложение
5. Многочлен Гамильтона-Кэли
6. Тождества неприводимых представлений
7. ” Контрпример”
8. Тип ’’контрпримера”

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5. Конечность базиса тождеств в конечномерных алгебрах Ли
1. Линеаризация “контрпримера”
2. Неприводимый “контрпример”
3. Конечномерное вложение
4. Расщепление
5. Основная Лемма
б. Сортировка переменных
7. Заключительный шаг
Литература
Введение
Обычные многочлены от нескольких переменных над некоторым полем могут рассматриваться как математические объекты с разных сторон. Прежде всего, они являются линейными комбинациями ”слов” (мономов) от нескольких ”букв” (свободных порождающих), которые коммутируют между собой. С другой стороны, если поле бесконечно, то их можно отождествить с регулярными функциями на аффинном пространстве; в этом случае порождающие - это проекции на фиксированные базисные элементы, т.е., координатные функции.
Теперь предположим, что аффинное пространство Р параметризовано элементами некоммутативной (или даже неассоциативной) алгебры А, т.е., Р - это прямая степень А. Тогда координатные функции - это в точности общие элементы алгебры А; они содержатся в алгебре функций из Р в А относительно поточечных операций и подалгебра порожденная ими и есть алгебра общих элементов алгебры А. С другой стороны, эта алгебра является свободной во многообразии порожденном А, причем общие элементы играют роль свободных порождающих.
Типичным примером является алгебра общих матриц, играющая чрезвычайно важную роль в теории колец. Одним из первых и эффектных применений этой идеи является работа Амицура [3], где обобщается терема Гильберта о нулях на некоммутативный случай и доказывается теорема о нильности радикала Джекобсо-на конечно-порожденной ассоциативной алгебры удовлетворяющей нетривиальному полиномиальному тождеству (т.е., Р1 алгебры). Другой яркой иллюстрацией является пример алгебры с делением не являющейся скрещенным произведением [4), отметим также теорему Размыслова-Форманека о центральных многочленах матричной алгебры. Усилия в этом направлении привели к развитию теории ассоциативных Р1 алгебр [62, 70].
Алгебры общих элементов в неассоциативном случае используются также с давних пор. Они оказались полезными как в структурной теории некоторых классов алгебр (см., например, [42, 79]), так и в теории многообразий алгебр [9, 68], в частности, при описании тождеств конечномерных алгебр и их представлений [9, 68, 45].
Фундаментальный вопрос в классической теории инвариантов - описать порождающие алгебры полиномиальных инвариантов Г1 [Г] некоторой данной группы преобразований б конечномерного векторного пространства V над полем комплексных чисел (алгебраически замкнутым полем характеристики 0). Этот вопрос особенно важен, когда рассматривается диагональное действие некоторой группы

2. ПРОБЛЕМА РАЦИОНАЛЬНОСТИ
Наконец,
[° ЩУік Укх 0 1 -УікУкі Г
1° 0 О У 0 0 ы
О о* О О
°«Iг й> вол“гого'[-)-. 2]„=-2[2 ?]„[; ],
Значит, является элементом В-і, и
Д = (,, к = -ег([ ° щ о [ I £ ]) є Я,
Лемма 2.3 и лемма 2.4 доказаны. □
Лемма 2.5. Поле ф3 порождено над Р множеством М.
Док-во. Обозначим через V подпространство над Р(М), порожденное элементами а)-(1) из леммы 2.4. Мы докажем, что это алгебра; для этого достаточно проверить а о Ъ € У для любых а, Ь из а)-с1).
Если а = е„ это очевидно. Определим представление ф : Н АиЬр(А) полагая Ф{я) = ФЛя) Фї{я) дая 9 € н. Ввиду того, что ф{д)Р(х) = Ф-г{д), поле Р(М) инвариантно относительно Я. Действительно, Сз неподвижно относительно Н по лемме
2.2, и ьесір{а,а,Хі,Х2,Ха} замкнуто относительно Я. Более того, Я переставляет элементы а)-<1) с точностью до знала. Следовательно, V замкнуто относительно Я и достаточно показать, что а о Ъ Є V только для пар а, Ь из различных Я-орбит. Отметим, что первый и второй элементы в с) и (1) сопряжены под действием <7, значит нам нужно только рассмотреть случаи, где а - один из следующих элементов

О «і

1 Г г/23 о 1 Го щуп
Ь ’ ] I ° 0-23 * ' 1° ° .І23 '
В первом случае имеем а (23) = —а. Следовательно, нам нужно взять Ь из различных (23)-орбит:
0 «1 ' 0 «2 1 Г 0 °] Г0
0 0 23 0 0 3 31 и [ 2

Г 1/23 о 1 Г 1/12 0 1 Г 1/21 о
I 0 Ч»4 0 °п[ 0 Чп

0 «21/21 ] г° «2І/23 1 Г0 «11/13
0 0 ’ 323 1° 0 - 12 1°
(2.2)

«22/12

«І1/32 о

«їг/зі

В случае 2) имеем а (23)а — а; аналогично,

или Ъ такой же, как в (2.2).
Уиз 0 ' Уза. °1 1/12 °] [ УК
0 0 ) 23 0 0 0 ііи’ [ о