О дифференцированиях и лиевых изоморфизмах первичных колец

• Автор: Чеботарь, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Содержание
Введение
1 Дифференцирования в первичных кольцах
1.1 Основные понятия
1.2 О композиции дифференцирований
1.3 Подкольца, порожденные дифференциальными коммутаторами [аД х]
1.4 Подкольца, порожденные дифференциальными коммутаторами [хх]п
2 Лиевы изоморфизмы первичных колец
2.1 Некоторые результаты из теории функциональных тождеств
2.2 Лиевы изоморфизмы простых колец
2.3 Лиевы изоморфизмы первичных колец с инволюцией

Введение
Начиная с шестидесятых годов этого века задачи, связанные с дифференцированиями и лиевыми изоморфизмами первичных колец, привлекали внимание многих математиков. Из первых работ о дифференцированиях колец отметим статью Познера [59]. Он показал, что композиция двух ненулевых дифференцирований первичного кольца не может быть ненулевым дифференцированием, если характеристика кольца отлична от 2, и что ненулевое дифференцирование первичного кольца Д является коммутирующим отображением (то есть [хл, х = жж — ххл = 0 для всех х £ Я) тогда и только тогда, когда кольцо Д - коммутативно. Эти результаты имели многочисленные обобщения. Отметим только некоторые из них. Вопрос о том, когда композиция трех дифференцирований первичного кольца является дифференцированием, был исследован Лански [41]. В случае положительной характеристики (р > 0) первичного кольца задача о композиции р дифференцирований была рассмотрена Чуангом [32].
Вукманом [63] было доказано, что ненулевое дифференцирование некоммутативного первичного кольца Я характеристики, отличной от 2, не может удовлетворять тождеству [ж1*,ж]2 = [[жй,ж],ж] = 0 для всех х £ Я. Лански [43] обобщил этот результат, показав, что ненулевое дифференцирование <1 некоммутативного первичного кольца Я не может удовлетворять тождеству [жй,ж]„. = [... [ж1*, х
Вопросы описания коммутирующих отображений, решенные Познером для дифференцирования, Вукманом для отображения [хл, ж] и Лански для отображения [ж<г,ж]п, имеют самое непосредственное отношение к задачам о лиевых изоморфизмах. Мэйн [57] получил аналог теоремы Познера для коммутирующих автоморфизмов. Его результат также многократно обобщался различными авторами. Из этих работ следует выделить статью Брешара [18], который описал все коммутирующие отображения первичных колец, то есть все аддитивные отображения / : Д —> Д, удовлетворяющие тождеству [/(ж), ж] = 0 для всех

х £ Л. Более общий результат об аддитивных отображениях / : Ь —> Л левого идеала £ в первичное кольцо Л, удовлетворяющих тождеству [
Из первых работ о лиевых изоморфизмах важно отметить статью Хуа [38], где была рассмотрена задача описания лиевых автоморфизмов для колец матриц порядка п > 3 над телом в случае характеристики, отличной от 2 и 3.
В случае простых колец Л характеристики 2 задача описания лиевых изоморфизмов была исследована Херстейном и Клейнфельдом [36] при дополнительном предположении о том, что лиев изоморфизм ф сохраняет третью степень, то есть ф(х3) = ф(х)3 для всех ж £ Л.
В 1961 году Херстейном [33] были сформулированы две следующие проблемы:
1). Всякий ли лиев автоморфизм ф простого ассоциативного кольца Л имеет вид <т+т, где а - автоморфизм или взятый со знаком ” антиавтоморфизм кольца Л, а т - отображение кольца Л во множество элементов, коммутирующих с элементами из Л?
2). Пусть Л - простое кольцо с инволюцией * и К - лиево кольцо кососимметрических элементов (то есть К = {ж £ Л | X* — —ж}). Всякий ли лиев автоморфизм ф кольца К индуцирован автоморфизмом кольца Л?
В случае характеристики, отличной от 2 и 3, задача 1) была исследована Мартиндейлом (в 1963 г. для примитивных колец с дополнительным предположением о существовании трех ортогональных идемпотен-

по правилу хк = ках для всех к 6 К. Известно, что Я не имеет делителей нуля. Рассмотрим коммутативное подкольцо V = Я[х] кольца Я. V является также лиевским идеалом. Действительно,
[х кх*] = [х к}х = (хг + кх1)х* — (ка + /г)ж,+'?.
Если I четное, то ка' = к и ка% + к = 0, если г нечетное, то ка‘ = ка и ка’ + к = ка + к£Я. Пусть Т) = ай{х) и и =< [у°, у] >, у 6 Я. Так как х £ V, то мы получаем [у15,у] = [[ж,у],у] £ V я отсюда II С V. Поэтому II не содержит ненулевых идеалов кольца Я. С другой стороны, для кольца А без делителей нуля кольцо (д(А) также не имеет делителей нуля, и поэтому (ж + с)2 ф 0 ни для какого с £ С.