Приложения эквивариантных когомологий в вещественной алгебраической геометрии

• Автор: Краснов, Вячеслав Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 127 с.

Оглавление.
Введение
Глава I. Эквивариантные когомологии вещественного
топологического пространства
§ 1. Когомологии Гротендика (7- пучков
§ 2. Z/2 - модули
§ 3. Конструктивное определение эквивариантных когомологий
вещественного топологического пространства
§4. Канонические гомоморфизмы а.р.Т
§ 5. Неравенства Гарнака-Тома
§ 6. СМ - пространства
§ 7. СЛА/Г - пространства
§ 8. Векторные расслоения на вещественном топологическом
пространстве
§ 9. Эквивариантный класс Тома
§ 10. Отображения эквивариантного цикла
Глава II. Эквивариантные когомологии вещественного
алгебраического многообразия
§ 1. Отображения циклов на вещественном алгебраическом
многообразии
§ 2. Специальные многообразия
§ 3. Первая спектральная последовательность эквивариантных
когомологий поверхности
§ 4. Точные последовательности для эквивариантных
когомологий поверхности
§ 5. Вещественные алгебраические СМ(1) - поверхности
Глава III. Топологические приложения эквивариантных
когомологий
§ 1. Соотношения между характеристическими классами
§ 2. Дополнительные сравнения для М- многообразий
§ 3. Дополнительные сравнения для (ММ) - многообразий
§ 4. Сравнение для двойного проективного пространства
Глава IV. Геометрические приложения эквивариантных
когомологий
§ 1. Отображение Альбанезе
§2. Группа Пикара и группа Нерона-Севери
§ 3. Эквивариантные этальные когомологии
§ 4. Когомологическая группа Брауэра комплексного
алгебраического многообразия
§ 5. Когомологическая группа Брауэра вещественного
алгебраического многообразия
§ 6. Группа Брауэра вещественной алгебраической
поверхности
§7. Алгебраическая группа когомологий
Литература
Введение.
Эквивариантные когомологии Нп0(Х,А) топологического С-пространства X, согласно конструкции Бореля, равны Нп(ЕОхсХ, А). Когда группа (7 дискретная ? конструкция Бореля эквивалентна конструкции Гротендика, согласно которой Нп(X;С, А) = ЯпГ°(А) (см. [ 6, гл. V] ). В случае дискретной группы б конструкция Гротендика для алгебраической геометрии оказывается более полезной, так как позволяет рассматривать эквивариантные когомологии с коэффициентами в произвольном С- пучке, а также может быть расширена до определения эквивариантных когомологий для разных обобщённых топологий алгебраического многообразия, например, можно рассматривать эквивариантные этальные когомологии. Если X вещественное алгебраическое многообразие, то на множестве комплексных точек X(С) действует группа Галуа С=С(С/Я), которая является группой второго порядка. Это действие задаётся инволюцией комплексного сопряжения g: Х(С)->Х(С). Тогда можно, в частности, рассмотреть следующие группы эквивариантных
когомологий: Нп (Х(С)2),Нп (Х(С)Х. г±), Нп (X(С):С,С*),
где Z± - (7 - модуль целых чисел, на котором инволюция g
действует умножением на ±1 , б* - пучок ростков голоморфных
обратимых функций, на которых инволюция действует по
правилу g(h) — h°g, черта означает комплексное сопряжение.
Настоящий труд излагает достаточно полно результаты моих статей [11-25], в которых применялись указанные выше эквивариантные когомологии для решения задач вещественной алгебраической геометрии. Это сочинение состоит из четырёх глав. В первой (вводной) главе мы занимаемся топологическими пространствами с инволюцией, которые называем вещественными топологическими пространствами. Для них рассмотрены следующие общие вопросы: Галуа-максимальность вещественного топологического пространства, . характеристические классы векторных расслоений на вещественном топологическом пространстве, отображения цикла на вещественном топологическом пространстве. Вторая глава посвящена эквивариантным когомологиям вещественного алгебраического многообразия. Здесь мы доказываем необходимые и достаточные условия для Галуа - максимальности вещественного алгебраического многообразия. Изучаем отображения алгебраических циклов. Вычисляем первую спектральную последовательность

эквивариантных когомологий поверхности. Строим точные последовательности, помогающие вычислять эквивариантные когомологии поверхности. Главы III, IV посвящены
применениям эквивариантных когомологий. Здесь мы находим соотношения между характеристическими классами вещественного алгебраического многообразия. Изучаем отображение Альбанезе для вещественного алгебраического многообразия. Вычисляем группы Пикара, Нерона-Севери и Брауэра, а также алгебраическую группу когомологий.
Сформулируем более подробно некоторые результаты, изложенные в данном труде. Далее X - неособое проективное вещественное алгебраическое многообразие, рассматриваемое как схема над R
1°. Галуа- максимальность. Всегда выполняются неравенства (см. [15]):
dim Я* (X(R),F2 ) < dim Я* (X(C).F2 ) . (0-1)
dim Н* (X(R),F2) < dim Я1 (G, H* (X(C),F2)), (0-2)
dim Я* (X(R),F2 ) < dim Я1 (G, H* (X(C).Z)) + (0-3)
dimH2( G, H* (X(C),Z)).
Многообразие X называется M- многообразием, если неравенство (0-1) становится равенством. Такое определение дано в [33], а в [15] предложено аналогичное определение. Многообразие X называется GM- многообразием, если неравенство (0-2) становится равенством. Заметим, что X является М- многообразием тогда и только тогда, когда X является GM- многообразием и инволюция
g*: Я* (X(C),F2) —» Н* (X(С),F2) тривиальна. Продолжая аналогию, мы называем X GMZ - многообразием, если неравенство (0-3) становится равенством. В случае, когда группа Н* (X(С),Z) свободная, правые части неравенств (0-2), (0-3) совпадают, поэтому справедливо утверждение. Если группа Я (X(C),Z)) свободная, то X является GMZ- многообразием тогда и только тогда, когда X-GM- многообразие. В общем случае это утверждение неверно, но имеет место
Теорема 01. GM- многообразие X является тогда и только тогда (jA/Z-многообразием, когда гомоморфизм Бокштейна
S:Hq~l(X(C),F2)G->2Hq(X(C),Z)G эпиморфен при каждом q , где 2Hq(X(C),Z)° подгруппа Hq(Х( C),Z) G, состоящая из элементов второго порядка.

d1/1 (Z±) при r > 2, а знаки соответствуют друг другу.
4) Равенство из условия 6) выполняется тогда и только тогда, когда выполняется соответствующее равенство из условия 7). Равенство из условия 7) для пучка Z+ выполняется тогда и только тогда, когда равны
нулю дифференциалы dGq+> ~l(Z±), где г >2 и при чётном г берётся знак а при нечётном г знак Чтобы выполнялось равенство в условии 7) для пучка Z_, нужно потребовать обращения в нуль таких же дифференциалов, но условие на знаки изменить на противоположное.
Если А абелева группа, то через 4(2) будем обозначать 2-примарную подгруппу, а через 2 А - подгруппу из элементов второго порядка. Из теоремы 7.2 и предложения 4.1 следует, что для GMZ- пространства имеет место точная последовательность
0-> Fq'iHq(X;G,Z±)-> Hq(X;G,Z±)(2)—(7-2) -2-» Hq (X, Z± f (2) ->
Лемма 7.5. Если X - GMZ - пространство, то точная последовательность (7-2) расщепляется.
Доказательство. В силу предложения 4.1 группа
Fq]Hq (X;G,Z±)~ 2- элементарная, поэтому достаточно установить, что каждый ненулевой элемент а є Fq~lHq (X; G,Z±) не делится на 2 в Hq(X; G,Z±). Для этого рассмотрим гомоморфизм ограничения
д. Fq'xHq(X;G,Z±) —» Fq~lHq(Z;G,Z±). (7-3)
Для когомологий пространства Z имеет место точная последовательность вида (7-2), которая расщепляется. Это вытекает из вычислений
группы Hq(X;G,Z±) в § 3. Осталось заметить, что по теореме 7.2 гомоморфизм (7-3) мономорфен. Лемма доказана.
Следствие 7.6. Если X- GMZ- пространство, то гомоморфизм a: 2Hq (X;G,Z±) -» 2Hq(X,Z±f
эпиморфен.
Лемма 7.7. Если X - GMZ - пространство, то гомоморфизм Бок-штейна
8: Hq~l(X,F2)G -> 2Hq(X,Z±f
эпиморфен.
Доказательство. Рассмотрим коммутативную диаграмму