Некоторые алгоритмические проблемы в группах Артина большого и экстрабольшого типа

• Автор: Кузнецова, Анна Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 100 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Группы Артина большого типа. Элементы бесконечного порядка
1. Диаграммы над конечно порожденными группами Артина большого типа
2. Элементы бесконечного порядка в группах Артина большого типа
Глава 2. Проблемы вхождения в циклическую подгруппу и слабой степенной сопряженности слов в группах Артина большого типа
1. Проблема вхождения в циклическую подгруппу
2. Проблема слабой степенной сопряженности слов
Глава 3. Группы Артина экстраболыного типа. Проблемы степенной сопряженности: слов и
пересечения циклических подгрупп
1. Диаграммы над конечно порожденными группами Артина экстрабол ьшого типа
2. Проблема степенной сопряженности слов
3. Проблема пересечения циклических подгрупп
Литература
Введение
Актуальность темы
В настоящее время теория групп является одним из самых развивающихся разделов алгебры, получившая свое применение в различных областях математики и естествознания. В 1911 году М.Дэн сформулировал основные алгоритмические проблемы для класса конечно определенных групп: проблему равенства слов, проблему сопряженности слов и проблему изоморфизма. После этого комбинаторная теория групп оформилась как самостоятельная наука со своей проблематикой.
Проблемы равенства, сопряженности слов и изоморфизма получили отрицательное решение в работах П.С. Новикова. В [22] им был построен пример конечно определенной группы с неразрешимой проблемой равенства слов, тем самым была доказана неразрешимость проблемы сопряженности слов в. классе конечно определенных групп. В [23] П.С. Новиков построил пример группы с разрешимой проблемой равенства, но неразрешимой проблемой сопряженности слов. Используя полученные результаты, им была доказана неразрешимость. проблемы изоморфизма. Таким образом, была показана неразрешимость основных алгоритмических проблем в классе конечно определенных групп. Поэтому возникла задача изучения данных проблем в отдельных классах конечно определенных групп. В связи« с этим большой интерес представляет собой класс конечно определенных групп Артина и Кокстера.
Группа Артина - это группа С, заданная системой образующих а1,
/е/, |/[<оо, и системой определяющих соотношений <зад... = ааа]

(т0) ,, имеющей вид
т *Л

т„ *

* * К
, причем, при / Ф у, т] = тр, т1)>2.
Если к определяющим соотношениям группы Артина добавить соотношения вида: V/e/,.af2= 1, получим копредставление
соответствующей группы Кокстера. Группы Кокстера, со времени их введения Кокстером в 1935 году, были подробно изучены. Обстоятельное изложение полученных результатов имеется у Бурбаки [12]'
Класс групп Артина содержит группы кос, копредставление которых было получено Артином, решившим в, данном классе, групп проблему равенства слов, используя геометрические методы [28]. Алгебраическая? теория групп кос была построена A.A. Марковым [20], который решил проблему равенства аналитическим методом. Проблема сопряженности вь группе кос. была решена Ф. Гарсайдом [13] и независимо F.C. Маканиным [18]. В 1971 г. F.C. Маканин [19] доказал, что нормализатор любого элемента групп кос конечно порожден и указал алгоритм? построения? образующих этого нормализатора. F.F. Гурзо [15] путем обобщения метода, описанного в [19], получила1 алгоритм для- нахождения
образующих централизатора конечного множества элементов группы кос. Отметим; что до настоящего времени неизвестна разрешимость проблемы, равенства в конечно определенных группах Артина
В 1972 году Э. Брискорном и К. Сайго [11] был введен класс групп — группы Артина конечного типа. Группа Артина называется? группой Артина конечного типа, если соответствующая ей? группа Кокстера конечна. Э. Брискорн и К. Сайто доказали разрешимость проблем равенства и сопряженности слов в данном классе групп [11]. Для, групп Артина конечного типа В;Н. Безверхним и В .А. Гринблатом было
получено решение проблемы вхождения в циклическую подгруппу [8]. Ю.Э. Трубицин [25] и В.А. Гринблат [14] доказали разрешимость
проблемы обобщенной сопряженности слов в данном классе групп. Также для групп Артина конечно типа В;Н: Безверхний доказал неразрешимость проблемы вхождения в неприводимые группы Артина конечного типа [2].
Случай 2. = 2к, тогда по лемме 1.5 группа Ои изоморфна НМЧ-
задается отображением /(а,) — /, /(«,) = х/ 1.
Используя теорему 2.1 и теорему 2.2, получаем разрешимость проблемы вхождения в циклическую подгруппу в случае, когда слово записано на двух образующих.
Пусть теперь группа Артина большого типа Є порождена более чем двумя образующими.
Лемма 2.1 [31]. Пусть слово группы С? Артина большого типа циклически Я, Я - несократимо. Существует алгоритм, строящий по слову м) сопряженное с ним или с его квадратом в группе Є слово м>0, любая степень которого Я, Я - несократима.
Нам понадобятся следующие леммы.
Лемма 2.2 [4]. Существует алгоритм, строящий по любому циклически несократимому в свободной группе и не равному 1 в группе Є слову лм циклически Я,Я - несократимое слово и0, сопряженное с в группе Артина большого типа Є.
Лемма 2.3 [4]. Существует алгоритм, строящий по любому несократимому в свободной группе и не равному единице в группе С слову мі Я, Я - несократимое слово ч>0, равное ему в группе С. Доказательство леммы 2.1:
расширению, то есть группе
изоморфизм
Группы Артина с числом образующих больше двух