Распределение простых чисел в арифметической прогрессии, разность которой является степенью фиксированного простого числа

• Автор: Шевцова, Мария Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 85 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения
Введение
Глава 1. Вспомогательные утверждения
§1. Вспомогательные леммы
§2. Основные леммы
Глава 2. Доказательства теорем 1 и
Глава 3. Доказательство теоремы
Список литературы
Обозначения
с,сьс2, - — положительные постоянные, в различных формулах, вообще говоря, различные;
е — произвольно малое положительное постоянное ЧИСЛО, £ < 1;
Р) РъР2,- — простые числа;
ро — фиксированное простое число, ро 3;
Li х=[
J in и ’

ехр х = ех;
тДп) — число решений уравнения ад Xh = п в натуральных числах ЖЬ . , Хк]
(р(п) — функция Эйлера — число натуральных чисел, не превосходящих п и взаимно простых с п;
запись а = Ъ (mod те) означает, что те | (а — Ь);
//(гг) — функция Мебиуса — равна единице при п = 1, равна нулю, если р2п и равна (—1)к , если п равно произведению к различных простых сомножителей;
Л (??) — функция Мангольдта — равна 1пр, если п — степень простого числа р, и равна 0 в противном случае;
Х(п) — характер Дирихле по модулю D;

если V - целое число,
Г ехр{2тггг}, если (п, О) = 1;
0, если (п, О) > 1.
Х(п) — комплексно-сопряженный характер Дирихле;
7т(х, И, I)— число простых чисел, не превосходящих числа х и сравнимых с I по модулю О, (1,0) = 1;
||£|| — расстояние от £ до ближайшего целого числа;
запись А <С В означает, что А сВ.

Оценим в о тривиально все множители од, номера которых меньше

г/о = -t и больше i/i = — t, а для остальных множителей воспользу-0 1U
емся полученной оценкой:
И) и
(7 Y[2]i2p2v П (ЪкР")2'р~цт+1'{&+1) Д 2h2P?V
v=l i/=v0+l г=г1 +1
sC (9fc)2(+1Vr(i/1~)+("+1)fa~aJ+Vt,+y
Из определений t и s находим, что < logpoто, t > 19 и то 81. Отсюда следует, что
/ , лЛ”! ~ vo)(vl + О) + 1)
- vo) + (s + 1)
S + 1 ( 2 т = —(i ~ Oi)-y- f - г/i - 1 I
t s+1 ( ht 17 t2 „
85 -10 ~T 0 - JTi 10* “1) ~m(s + lf = -m_(s +1)70'
о —m2(s+1)70 о—7iwi2
Значит, p0 =P2n , где 7l
Для оценки Jk.t(0, , 0) применим теорему о среднем Виноградова (лемма 12). Получим:
#. 2i j о/-> *(Н-1) |
ДД0, , 0) < ес° шР?к
|Др |42 < gc°Pln*/:;4fc(2fc-l)+*(i+l)-7i?n2+4A;—i(+l)+"1'1— 0t2Int,8k22 Извлекаем корень степени 4fc2: