Аппроксимационный подход к проблеме обобщенных характеров

• Автор: Водолазов, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
Введение

1 Вопросы аналитического продолжения рядов Дирихле

• 1.1 Метод редукции к степенным рядам в задаче аналитического

продолжения рядов Дирихле целым образом на комплексную

плоскость

1.2 Аппроксимационный критерий целостности рядов Дирихле

2 Вопросы аналитического продолжения рядов Дирихле с вполне мультипликативными коэффициентами
2.1 О граничном поведении степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами

^ 2.1.1 Ограниченная полугруппа операторов и вопросы

полиномиального приближения степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами
2.1.2 Оценки скорости приближения полиномами степенных рядов с вполне мультипликативными коэффициентами
2.2 О граничном поведении степенных рядов с обобщенными характерами
3 Аппроксимационный подход к гипотезе Н.Г.Чудакова
* 3.1 Аппроксимационная характеристика Ь - функций Дирихле.
3.2 Распределение значений обобщенных характеров
Добавление 1
Литература

Введение

Краткий исторический обзор по теме диссертации.
В различных задачах аналитической теории чисел важную роль играет изучение характеров мультипликативной полугруппы натуральных чисел. Характером называется теоретико-числовая функция h(n) обладающая следующими свойствами:
1) h(n)~ отлична от тождественного нуля,
2) h{nri2) = h{ni)h(ri2) для любых натуральных п и П2 (вполне мультипликативность) ,
3) |/г(п)| =0,1 (нормированность).
Если к условиям 1,2,3 добавить требование периодичности h(n), то получим определение характера Дирихле. Важность характеров Дирихле в теории чисел хорошо известна.
Из условия 2 вытекает, важное свойство: характер полностью и однозначно определяется значениями, которые он принимает на простых числах.
Базой характера h(n) называется множество всех простых, для которых h(p) ф 0. База называется конечной если она содержит конечное число простых, и бесконечной в противном случае. Базу называют полной, если в нее не входит лишь конечное число простых.
Важной характеристикой числового характера h(n) является сумма-торная функция
В частности, если Н(п) = у(п, к)- характер Дирихле основного модуля к, то хорошо известно
S(x, К) = ^ h(n).

О, если х~неглавный, <р(к), если ^-главный,
и следовательно легко получаем, что
S(x,x) = ах + 0(1)
{О, если х~ неглавный,
PjQ, если х-главный.
В 1950 году Н.Г.Чудаков /40//39/ поставил задачу изучения характеров с ограниченной сумматорной функцией, которые были названы обобщенными характерами. Как и для характеров Дирихле, вводится понятие главного обобщенного характера: пусть
S(x, h) — ах + 0(1)
при л-Эоо; тогда при а ф 0 характер h называется главным обобщенным характером, а при а = 0 характер h называется неглавным обобщенным характером или просто обобщенным характером.
Характер Дирихле является частным случаем обобщенного характера.
Свойства обобщенных характеров во многом схожи со свойствами характеров Дирихле. В частности из ограниченности сумматорной функции следует, что
L(s’h) = ^^r (s =
можно аналитически продолжить в полуплоскость и > 0.
В работе /39/ показано, что если h(n)~ действительный неглавный обобщенный характер, то его L-фун кция положительна при s = I, т.е. L(l,h) > 0, что является аналогом теоремы Пейджа для характеров Дирихле. В этой же работе для неглавных действительных обобщенных характеров получен аналог теоремы Зигеля.
Естественно возник вопрос о том, насколько класс обобщенных характеров шире, чем класс характеров Дирихле.
Имеется один очевидный пример обобщенного характера, не являющегося характером Дирихле. Пусть база характера h(n) состоит из одного простого р, причем h(p) = £, £ ф 1, |£| = 1, тогда
1 _ ст+
S(x,h) = ^-r = 0(l),
где т = [Ь|].
Привести другие примеры долго не удавалось. Появились работы, в которых доказывалась неограниченность сумматорных функций некоторых классов характеров, заведомо не являющихся характерами Дирихле. В

Замечание. Утверждение теоремы 2.1.5 аналогично утверждению теоремы
2.1.1. Нужно только воспользоваться тем фактом, что размерность подпространства Щ равна (в смысле асимптотики) [^р].
В заключение отметим один результат относительно поведения величины а)к{,д, (£)}), который будет использоваться в следующем пара-
графе и который является следствием теоремы 2.1.1 и прямых и обратных теорем теории приближения алгебраическими полиномами, выраженных в терминах гладкости (например, /14/).
Теорема 2.1.6. Пусть д(х) € Н*. Тогда для любого отрезка [0; 1 — е] величина и>к(^,д, {4^(£)}) ведет себя следующим образом:
^,9,{у,ттх±.
При этом