Эффективные свойства вполне разложимых абелевых групп

• Автор: Мельников, Александр Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
0.1 Эффективные свойства групп
0.2 Эффективные алгебраические инварианты
0.3 Обобщения Проблемы 1 и Проблемы
0.4 Класс вполне разложимых групп
0.5 Обзор результатов
1 Предварительные сведения
1.1 Вычислимость
1.2 Абелевы группы
2 Вычислимые вполне разложимые группы
2.1 Спектры вполне разложимых абелевых групп
2.2 Вычислимые группы и модули
3 Нумерация как вычислимый инвариант
4 Эффективная категоричность вполне разложимых
групп
4.1 Совершенные базисы и Д-независимость
4.2 Аз-категоричность
5 Описание Д-категоричности
6 Упорядоченные вполне разложимые абелевы группы
6.1 Спектры упорядоченных абелевых групп
6.2 Эффективная категоричность упорядоченных абелевых групп

Введение
Эта работа посвящена изучению эффективных свойств абелевых групп без кручения специального естественного класса: вполне разложимых абелевых групп. Впервые (классически) эти группы систематически изучались в работе Бэра [5]. Предложенные результаты используют новые теоретико-групповые и теоретикорекурсивные методы и продолжают традицию, заложенную еще в работах А.И. Мальцева [30], [29].
0.1 Эффективные свойства групп
Замечательным является тот исторический факт, что изучение эффективных процедур в теории групп предшествовало формальному определению алгоритма. Отправной точкой здесь можно считать работы Дена [9] и Хигмана [22], где изучались свойства конечно порожденных групп. Схожие по духу исследования велись и в других разделах алгебры: интуитивно эффективные процедуры применялись в теории полей, колец и других алгебраических структур (см., например, ван дер Варден [45], Херрманн [20]). Современная теория вычислимых групп берет своё начало в работах Рабина [38] и Мальцева [29], [30], где использовалось известное к тому времени формальное понятие алгоритма.
Мальцев был также первым, кто предпринял систематическое изучение вычислимых свойств абелевых групп [29], [30]. Вычислимые

где <ЭР - подгруппа {(5,+), порожденная элементами {Д : (р,т) = 1 ,ре 5'}.
Следующее утверждение дуально предыдущей теореме для 5 -делимых групп.
Предложение 7. Пусть С (£) - Б-неделимая группа и пусть С = (®г6ш Щ) 0 ОД), где каждая группа Н изоморфна С). Тогда С имеет вычислимую копию тогда и только тогда, когда Б принадлежит £°.
Доказательство. Нетрудно проверить, что при условии существования вычислимой копии такой группы отношение р £ Я можно выразить формулой.
Отметим, что для множества простых чисел 5* существует вычислимое отношение Т такое, что р3 £ в тогда и только тогда, когда Д<0Ох)Т(х, в). Мы фиксируем это отношение и эффективную процедуру, которая перечисляет его без повторений. Мы также предполагаем, что *5 не является ко-конечным (этот случай рассматривается без труда).
Шаг 0. Положим, Д = 0 и М(в) — 0 для всех 5.
Шаг С Для каждого в < £ перечисляем Т3 = {х : (х,в) £ Т}. Для каждого 5 возможны варианты:
1. Мы ждали до тех пор, пока на шаге т, МД) < т < £, х появился в перечислении Д. Останавливаем перечисление Д и полагаем Д = Д и {Д,г + 1)}, где г = тахД : Д, Д £ Д}, если максимум существует, и г = 0, иначе.
Полагаем, МД) = т.
2. Мы проделали £ шагов в перечислении Д и не нашли элементов на шагах т, МД) < т < £. Останавливаем перечисление и ничего не делаем.