Структурно-геометрические свойства бесконечномерных групп ЛИ в применении к уравнениям математической физики

• Автор: Лукацкий, Александр Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 155 с.

Глава 1. Общие структурные свойства бесконечномерных групп

1.1. Необходимые групповые конструкции
1.2. Обобщение конструкции группы токов
1.3. Топологическая конечнопорожденностъ
бесконечномерных групп Ли
1.4- Конструкция максимальной подгруппы в группе
биголоморфных автоморфизмов
1.5 Конечнопорожденностъ связной компоненты единицы в группе диф-феомормизмов произвольного компактного многообразия
1.6. Локальные действия алгебр Каца-Муди
1.7. Разбор случая группы диффеоморфизмов некомпактного многообразия
Глава 2. Геометрия групп диффеоморфизмов
2.1 Исследование пассатного потока на двумерной сфере
2.2. Разбор случая тора Тп
2.3 Вычисление кривизны Риччи для группы £>г//м(Тп)
2-4 Разбор случаев компактных римановых поверхностей
2.5. Исследование геометрии группы диффеоморфизмов, сохраняющих меру некомпактного многообразия
2.6. Вычисление кривизн группы (М) для некомпактного М в общем случае
Глава 3.Геометрия групп токов. Приложения к исследованию нелинейной динамики намагниченности ферромагнетиков, описываемой уравнением Ландау-Лифшица
3.1. Получение выражения тензора кривизны группы токов
3.2. Вычисление секционных кривизн для
группы токов на трехмерном торе
3.3. Обобщение конструкций на случай риманова многообразия

Глава 4. Исследование динамики жидкости, описываемой уравнениями Эйлера и Навье-Стокса,
методами группового анализа
4.1. Случай идеальной несжимаемой жидкости
4-2. Случай вязкой несжимаемой жидкости
4-3. Связь конструкций с теорией поля
Замечания
Литература

1. Общая характеристика работы.
1.1. Актуальность темы.
Развитие теории уравнений математической физики, а также приемов и методов построения их решений, анализа свойств известных решений насчитывает богатую историю: отправляясь от законов динамики Ньютона, включая теорию статических электрических полей, развитую Максквел-лом до теории электромагнитного поля, а также теорию теплопроводности, развитую в трудах Фурье, а затем доведенную в работах Планка, Фоккера, А.Н. Колмогорова до теории стохастической диффузии и, наконец, уравнение Шредингера в квантовой механике (появление формализма Гейзенберга, вторичного квантования по Фоку) далеко не полный перечень этапов этой истории.
Бурный прогресс наукоемких высоких технологий последней четверти ХХ-го столетия, обусловленный указанным выше развитием, настоятельно требует разработки на первый взгляд противоречивых направлений: повышение производительности и миниатюризация информационных технологий требуют рассмотрения быстрых (на сегодня порядка 10-13 —10"15 сек) переходных процессов и разреженных ансамблей частиц (порядка 1011 — 1013 электронов); наряду с этим задачи макроэкологии, космологии требуют прогнозов антропоморфных процессов на периодах от 1 до 106 лет и выше. Таким образом, обнаруживается необходимость предъявления новых решений уравнений математической физики, позволяющих описывать и предсказывать феномены в указанных выше проблемах.
Существует порядка десяти основных уравнений математической физики, описывающих с принципиальной точки зрения все известные на сегодня физические процессы. Наряду с этим существует практически необозримое количество публикаций, посвященных построению и исследованию их решений, а также описанию экспериментальных данных на их основе. В этом списке уравнений основных уравнений особое место занимают нелинейные гидродинамические уравнения Навье- Стокса, кинетические уравнения Больцмана [Бол], [КЗ] и т.д. В качестве примера можно привести известную в математической литературе работу Колмогорова-Петровского- Пискунова [КПП] в которой было предложено на основе автомодельных решений уравнения стохастической диффузии анализировать явление распространения инфекции в подходящей питательной среде.

Sc(S") = Ëi’£»+‘A» + ËiЇл„,и^3
k=0 k=l
oc oo
sc(53) = £(p£j+M, + p£»+»a,) + E P*V
fe=0 fe=l
Серию подпространств Р]гЛп образуют векторные поля вида grad5n р, где р—однородный гармонический многочлен степени к от {xi, ...,xn+i}, т.е. Ар = 0, а Д- оператор Лапласа в R”+1.
Покажем, что в каждом из этих подпространств содержится неполное векторное поле. Можно выбрать однородный гармонический многочлен от двух переменных р(хі,хг) степени к. Тогда имеем
и = grad5nр = (J~’“ kp(x1,x2 xn+i)
Векторное поле и на Sn продолжается до векторного поля ис на Qn, причем оно касается подмногообразия Q1 С Qn, заданного уравнением z + z — 1. Используя стандартную технику теории функций комплексного переменного, можно показать, что Hol{Ql) = 0(2,С). В частности полные векторные поля на Q1 имеют вид А(—Z2,z), Є С. С другой стороны, для ограничения векторного поля и получаем, что ucQl ф А(—22,21,0,0), таким образом, векторное поле ис неполное.
Рассмотрим теперь серии подпространств
рмп+кАп1п = 2,П >
рС і рС
.М^+кАз ' * МЦ +кАз'
Эти серии образуют так называемые вихревые векторные поля, т.е. поля из комплексификации пространства бездивергентных векторных на Sn. Введем в пространстве вихревых векторных полей на Sn подпространство Т£, состоящее из таких полей V — (v, ..., Vn+), что отличные от нуля координаты Vi являются однородными гармоническими многочленами степени к. Покажем, что при п = 2,п > 4 имеем = Рмп+кАп • При п = 2 это следует из того, что Рм2+кА2 состоит из полей вида /(grad52 /), где /—