Конечные группы с заданным набором порядков элементов

• Автор: Заварницин, Андрей Витальевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 63 с.

1 Порядки элементов в накрытиях групп А„ и Sn
§1.1. Предварительные результаты
§1.2. Случай р = 2
§1.3. Случай р — 3
§1.4. Случайр>5
§1.5. Доказательство основной теоремы
2 Распознаваемость групп Аг+ и Аг+2 для простого г
§2.1. Доказательство теоремы
3 Распознаваемость знакопеременной группы А§
§3.1. Доказательство теоремы
4 Группы Ln(q)
§4.1. Вспомогательные результаты
§4.2. Формулировка основных результатов
Список литёратуры

Множество порядков элементов конечной группы несет богатую информацию о самой группе. Подтверждением этого является факт существования групп, которые восстанавливаются с точностью до изоморфизма по своему множеству порядков элементов. Характер изменения этого множества при расширениях является популярным предметом изучения. Классическим примером служит известная работа Ф.Холла и Г.Хигмэна [1], в которой в связи с ослабленной проблемой Бернсайда изучаются порядки p-элементов в накрытии G р-разрешимой группы Я = G/N для случая, когда N — элементарная абелева р-группа и Я действует точно на N при сопряжении в
G. Холл и Хигмэн доказали, что при таких условиях G, как правило, содержит p-элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента группы Я. Упомянем еще работу [2], в которой доказывается, что в случае, когда N — прямое произведение простых групп, Cg(N) = 1 и H — G/N — циклическая 2-группа, всегда существует 2-элемент, порождающий G по модулю N, порядок которого больше порядка группы Я.
Обозначим через ш(Я) множество порядков элементов конечной группы Я. Скажем, что группа Я распознаваема по множеству ш(Н), если из равенства и>(Н) = сo(G) следует изоморфизм Я и G для любой конечной группы G. Нетрудно показать, что любая группа, содержащая нетривиальную разрешимую нормальную подгруппу, не является распознаваемой. Поэтому проблема распознаваемости представляется естественной для конечных почти простых и, в частности, простых групп. Существует обширная литература, посвященная вопросам распознаваемости таких групп. Последние результаты и обзор можно

найти в [3].
Очевидно, что любая распознаваемая группа Н обладает следующим свойством:
и(Н) ф ^(Сг) Для любого собственного накрытия С группы Я. (*)
Это свойство слабее распознаваемости по множеству порядков элементов. В качестве подтверждения можно привести знакопеременную группу Ав, для которой выполнено (*) и которая не распознаваема. Но даже проверка этого более слабого свойства для многих групп является трудоемкой.
В первой главе свойство (*) доказывается для любой неразрешимой группы Я, изоморфной симметрической или знакопеременной группе. А именно, доказывается следующая теорема.
Теорема А. (1.5.1) Пусть фактор-группа Я — О/А' конечной группы
изоморфна симметрической или знакопеременной группе степени т, где т > 5 и N ф 1. Тогда в (? есть элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента из Н.
Результаты первой главы опубликованы в [17] и [18], докладывались на семинарах ”Алгебра и логика” и "Теория групп” в НГУ, на алгебраической конференции в Санкт-Петербурге в 1997 г. (см. [23]) и на студенческой конференции в Новосибирске в 1997 г. (см. [26])
Отметим, что для произвольных почти простых (и даже простых) групп Н аналогичную теорему доказать невозможно. Например, существует расщепляемое расширение элементарной абелевой группы порядка

посредством простой группы Н = Яз(7), в котором порядок любого элемента равен порядку некоторого элемента группы Я.
Напомним, что множество ш(С) конечной группы определяет граф Грюнберга-Кегеля ОК(С), вершинами которого служат простые делители порядка группы О, и два простых числа р, у соединены ребром, если С содержит элемент порядка ру.
В работе [4] доказывается, что знакоперемнная група Аг простой степени г ^ 5 распознаваема по своему множеству порядков элемен-

тор Cs{T)' изоморфен А13 ввиду того, что порядок мультипликатора Шура группы А13 не делится на 3.
По лемме (3.1.5) в расширении К.Аз есть элемент порядка, не лежащего в Противоречие.
4) Предположим противное. Т.к. 7 не делит |Aut(L.5(3))|, то 7 | N. Поскольку II2 | [Т5 (3)| и силовская 11-подгруппа в А должна быть циклической, то 121 G w(G), противоречие.
5) Группа Lg(3) содержит подгруппу, изоморфную L$(3) х Гз(3) и, значит, содержит элемент порядка 13-2.
6) Предположим противное. Порядок N делится на 5 и 11. Кроме того, в Aut(L2(27)) нет элемента порядка 8 и поэтому 2 | N. Пусть Я — холлова {2,5,11}-подгруппа в N. Тогда в Ng{H) есть элемент порядка 13, который действует на Н регулярно. Значит, Н нильпо-тентна и 2 • 5 • 11 £ u(G). Противоречие.
7) Предположим противное. Порядок N делится на 7 и 11. Холлова {7,11}-подгруппа в N нильпотентна и поэтому 7-116 oj{G). Противоречие.
8) Если Р = Suz, то А = Р, т.к. 16 6 w(Aut(P)). Поскольку 7 • 5 £ oj(G) w(P), то либо 7, либо 5 делит |jV|. Поскольку 7 • 4 £ u>(G) и(Р), то либо 7, либо 2 делит N. Если 7 | N, то 11 не делит N. Но тогда существование в G элементов порядков 2-11 и 5-11 влечет 2,5 | N. Можно считать, что N не делится на 11. Тогда все подгруппы порядка 11 сопряжены вби поскольку холлова {2,5}-подгруппа в N нильпотентна, то существует элемент порядка 11 из G, который централизует элементы порядков 2 и 5 из iV. Поэтому 2- 5-11 € w(G), противоречие.
9) В противном случае 11 | N и, значит, |ЛГ| не делится на 7. Поскольку 5-7 0 w(Aut(P)), то 5 | N. Докажем, что в G есть элемент порядка 2-5-11 и тем самым прийдем к противоречию. Это верно, если 2 | N. Предположим, что N не делится на 2. Пусть Я — холлова {5,11 }-подгруппа в N. Тогда Алг(Я)— {3,5,11}-группа. В Р есть подгруппа Фробениуса Р порядка 13-2, а в G подгруппа, изоморфная Nn{H).F. Это расширение расщепляемо по теореме Шура и, значит, Р