Деформации исключительных простых алгебр Ли

• Автор: Ладилова, Анна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 90 с.

Глава 1 Основные сведения
1.1 Когомологии алгебр Ли
1.2. Спектральные последовательности
1.3. Деформации алгебр Ли
1.4. Алгебры Ли картановского типа
1.5. Усеченные индуцированные и коиндуцированные модули
Глава 2. Фильтрованные деформации алгебр Ли серии Франк
2.1. Геометрическая реализация алгебр Франк
2.2. Вложение фильтрованных деформаций в контактную алгебру
2.3. Исследование фильтрованных деформаций алгебр Франк внутри контактной алгебры
Глава 3. Фильтрованные деформации алгебр Ли серии &
3.1. Вычисление группы Н1(Ш, В2(0.))
3.2. Выделение подалгебры, изоморфной Гд в фильтрованной деформации ££
3.3. Построение 22-градуировки в фильтрованной деформации ££
Глава 4. Фильтрованные деформации алгебр Ли серии У
4.1. Вычисление группы //^(ГГ, Ц^у)
4.2. Построение в фильтрованной деформации ££ подалгебры, изоморфной
4.3. Доказательство жесткости алгебр Ли серии У относительно
фильтрованных деформаций
Глава 5.
Фильтрованные деформации алгебр Ли серии X

5.1. Геометрическая реализация алгебр Ли серии X
5.2. Вычисление групп когомологий специальной алгебры Ли 5 с
коэффициентами в модулях дифференциальных форм
5.3. Описание коциклов группы #(20)(5,2’ (О))
5.4. Выделение специальной подалгебры в фильтрованной деформации
5.5. Исследование «£? как 5-модуля
5.6. Доказательство жесткости простой градуированной алгебры
Лн типа X
Литература

Диссертация посвящена исследованию фильтрованных деформаций исключительных градуированных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики три. Под исключительными градуированными алгебрами Ли понимаются алгебры Ли, которые содержат в качестве однородных идеалов простые алгебры Ли, не имеющие аналогов при больших характеристиках основного поля.
Задача описания фильтрованных деформаций градуированных алгебр Ли возникает в связи с классификацией простых алгебр Ли, которая является одной из центральных проблем теории модулярных алгебр Ли. Общая схема классификации простых алгебр Ли была разработана в 60-х годах XX века
А.И. Кострикиным и И.Р. Шафаревичем, сформулировавшими в 1966 г. ([31]) основную классификационную гипотезу, согласно которой любая простая конечномерная ограниченная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 5 либо является классической алгеброй Ли, либо изоморфна алгебре Ли картановского типа. Эту гипотезу доказали в 1984 г. P.E. Блок и Р.Л. Вильсон ([2], [3]).
Классификационная схема для неклассических простых алгебр Ли Jrf состоит из следующих этапов:
1) построить максимальную подалгебру Jzfo в , которая определяет длинную неуплотняемую фильтрацию в 2zf, 2г? = D ... D э Jz?o э d Jzf] D ... э 2z?r э Jfr+i = {0}, такую, что в ассоциированной градуированной алгебре Ли L = ®=_qLi подалгебра L0 является классической редуктивной алгеброй Ли, то есть прямой суммой классических простых алгебр Ли и, возможно, одномерного центра;
2) получить классификацию простых градуированных алгебр Ли, облада-

в зависимости от случаев: L = R(m) или L = RQn). Выберем в качестве М,-пространства стандартной градуировки модуля М. Тогда — изоморфизм Lj и М. Кроме того, Д([п, г']) = 1'Ки), Л(г)], когда и е Lq, v е L.
Модуль РР/РР(о) можно наделить структурой W(o)- модуля, если VT(o) оставляет инвариантной подалгебру РР^у Поэтому достаточно будет доказать, что
nmi пт1
add' (РР) = 0 для i - 1,2. В силу того, что adд (VP) = 0, отображение

add; : Jz? —» Jz?, является гомоморфизмом W-модулей. Предположим, что add? ‘(РР) Ф 0 для некоторого г. Тогда корректно определен гомоморфизм

Pi = add; : Jz?/W —> РР, причем Pi нетривиален. Пересечение нпД П W является идеалом в W, поэтому либо нпД П W = 0, либо i in Д э W. Второй случай, очевидно, невозможен: dimim/?,- < p|m| < dim W. Таким образом, Д индуцирует ненулевой морфизм Д: PP/W —> PP/W.
В случае L = R(m) модуль РР/W неприводим, так как gr(Jz?/W) = В2(LI) — неприводимый W-модуль. Тогда по лемме Шура Д = с, Id, с, Ф 0. В случае L = R(m) имеем gr(PP/W) = О.2, поэтому модуль .5P/W может содержать собственный неприводимый W-подмодуль коразмерности 1, на котором Д действует умножением на скаляр с,-. Но тогдаД действует на РР /W с собственным значением с,-. Действительно, предположив, что Д(ш) = с'/т, с Ф Ci для некоторого т е PP/W, мы получим, что в R(m) содержится 1-мерный W-подмодуль (gr т), что невозможно. Таким образом, отображение ad д1’ ' имеет на РР только два собственных значения: 0 и с,
Для корневого разложения РР относительно add? ‘ имеем РР = РРо ® РРС,, где 2z?0 = W. Тогда [P?Cr PPCt] с Jz?2c; = {0}, поэтому PPCj — идеал в РР, и, соответственно, gr РРС. — идеал в L. Подчеркнем, что dim PPCj = dim L-, а коразмерность идеала в алгебре L не может превосходить 1. Получили противоречие, следо-

вательно, С( = 0, а значит, 0 ф add? (РР) с W. Ранее было показано, что пересечение im ad d? (РР) и W тривиально. Полученное противоречие завершает доказательство леммы. ■