Представления родом квадратичных форм коразмерности один

• Автор: Крылов, Василий Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 138 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I Основные определения теории квадратичных форм
§ I Матрицы квадратичных форм» Эквивалентность
§ 2 Род квадратичных форм
§ 3 Представления квадратичных форм. Вес представлений
§ 4 р - одномерные формы
Глава II Условия существования примитивных представлений
§ 5 Введение

§ 6 Приведение формы О СО над локальными кольцами

§ 7 Нечетные локальные условия представлений без ветвления.5О § 8 Нечетные локальные условия представлений с ветвлением
§ 9 Четные локальные условия представлений без ветвления...60 § 10 Четные локальные условия представлений с ветвлением
§ II Формулировка основного результата
Глава III Формула веса примитивных представлений
§ 12 Введение. Формулировка основного результата
$ 13 Четные локальные множители
§ 14 Нечетные локальные множители
§ 15 Орбиты примитивных представлений
Глава ІУ Приложения к конкретным формам
§ 16 Введение
§ 17 Вложения решеток в классические решетки корней
§ 18 Представления бинарной формы суммой трех квадратов
§ 19 Числовые примеры
Литература

Введение
Диссертация посвящена теории квадратичных форм. В ней исследуется задача представления т. - арной квадратичной формы А целочисленной положительно определенной формой О размерности а* т. и находится число г(А;СО целых решений матричного уравнения
0[Х]-А .ХеМСТП, Сі')
' П,УУ,
где ОІХ]-- ХіОХ , X* - транспонированная к X матрица. Представление Сі) называется примитивным, если наибольший общий делитель его миноров порядка ил, равен 1.
Если уравнение Сі) разрешимо хотя бы для одной формы О рода , то форма А представима родом
П.СА-Д) представлений формы родом подсчитывается по формуле
,* п-х V гСА-.О.) пСА-,3)-- , сг)
І.І оСО-,) ’
где суммирование ведется по всем классам эквивалентности, оСО/Ьг- (СП1,О.) - порядки групп автоморфизмов форм О. Аналогично Сй) определяется вес рСА-,3) примитивных представлений
Р(А,з).Х р|'('Х°0, СМ
г 1--1 оСС) ’
где ргСА-.О.)- число примитивных представлений А формой 0-г
Фундаментальными проблемами теории квадратичных форм являются:
1) классификация квадратичных форм;
2) существование представлений;
3) для положительно определенных форм вопрос о числе

представлений
5) единственность орбиты представлений.
В диссертации рассматривается представимость родом У формы А коразмерности п-т.--1 , то есть rn.--n.-i . Получены:
1) условия существования примитивных представлений формы А родом У;
2) формулы для веса р(А;У) примитивных представлений;
3) приложения формул к формам классических решеток корней, одноклассным формам и формам О небольших размерностей.
В главе I приведены основные определения, используемые в диссертации. В ней также определяются локальные р - символы и 2. - приведенные С канонические ) символы Конвейя - СЛоэна [183 . В главе II устанавливаются условия представимости родом У 'формы А , ступень а. которой совпадает с ее определителем 1АЬси1 А (.теорема IV Ограничение а* I А означает, что для любого простого р|а разложение А в прямую сумму над кольцом целых р - адических чисел И имеет вид
а~р®р*> м
где , с!е1 А1 -1А11 О (т.ос1 рЗ , (аЛ-
степень вхождения рва. Гдава III посвящена вычислению формулы веса р(А-Д).При доказательстве использована общая формула В.Г.Жравлева [10 3 . Приложения результатов глав II

и III к формам классических решеток корней 2
1) , Е6 , Е ? , Е , одноклассным формам и формам О
небольших размерностей рассмотрены в главе IV.
Результаты сформулированы в терминах локальных инвариантов. В введении приведем лишь основные результаты. В основу

Для форм малых размерностей истинность равенства (Ъ.О проверяется по определению определителя, а общий случай рассмотрен в 110] , §13.
С помощью свойств симметричности и рефлексивности отношения эквивалентности, получаем:
гСА-, О') = г (А , (ЗЛ , рг С А; О.У рг (А; О.'), если СьСи Поэтому для данного класса эквивалентности СА , количество гСА-.С) всех и ргСА-.О. примитивных представлений - постоянные числа.
Понятие представимости по другому определяет порядок группы автоморфизмов:
квадратичных форм размерностей т. и гит
Определение. Форма А представляется (примитивно представляется ) родом 3- , если существует представление
( примитивное представление-) формы А хотя бы одной формой
Весом п, (А;?) представлений формы А родом ? называется сумма:
іде суммирование ведется по всем классам О- эквивалентности рода.
Аналогично определяется вес р(А;7) примитивных представлений:
оСОУКОСО.
соответственно форма и род
Ос 3