Факторизационные теоремы и размерность подмножеств пределов обратных спектров и топологических произведений

• Автор: Одиноков, Андрей Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 63 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Факторизационные теоремы
1.1. Факторизационная теорема для размерности йгсНт
1.2. Факторизационные теоремы для пространств,
близких к метризуемым пространствам
Глава 2. Размерность топологических произведений
2.1. Размерность и прямоугольность произведений с лашневским сомножителем
2.2. Конечномерность топологических произведений
Глава 3. Бикомпакты с несовпадающими размерностями, разложимые в обратные спектры специального вида
3 .1. Индуктивная размерность и пределы обратных последовательностей бикомпактов
3.2. Бикомпакты Дугунджи с несовпадающими размерностями
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Факторизационные теоремы играют важную роль в распространении основных фактов классической теории размерности на общие топологические пространства. Исторически первая факторизационная теорема была доказана С. Мардешичем [50] в 1960 году и касалась отображений между бикомпактами и размерности dim. Двумя годами позднее А.В. Зарелуа [6] перенес утверждение Мардешича на случай системы подбикомпактов отображаемого бикомпакта, получив, тем самым, "коллективный" вариант факторизационной теоремы. В 1988 году П. Борет [35] определил продолжение trdim лебеговой размерности на трансфиниты. Размерность Борста классифицирует «S'-слабо бесконечномерные пространства. Факторизационная теорема для S-слабо бесконечномерных бикомпактов получена в 1971 году Б.А. Пасынковым [16]. Этот результат конкретизирован К. Йокои [74] и В.А. Чатырко [39] на случай размерности trdim.
Глава 1 посвящена доказательству новых факторизационных теорем и их следствий. В разделе 1.1 дается положительный ответ на вопрос Б.А. Пасынкова о коллективной факторизационной теореме для размерности trdim, обобщающей одновременно теорему Зарелуа и теорему Йокои-Чатырко.
Теорема 1.1.3. Пусть дано непрерывное отображение f X ->Z бикомпакта X на бикомпакт Z и пусть в бикомпакте X выделена система замкнутых подпространств и мощности | v [ < wZ. Тогда существуют такой бикомпакт Y и такие непрерывные отображения g. X —> ¥ и h:Y->Z, что / =hg, wY Теорема 1.1.3 доказана методом Пасынкова (см., например, [1]). Искомый бикомпакт, через который "пропускается" исходное отображение, строится как предел некоторой обратной последовательности из определяемых специальным образом бикомпактов. Одним из этапов доказательства является вычисление размерности предела построенной обратной последовательности.
С. Мардешич [50] предложил метод вывода теорем о бикомпактифика-
циях, сохраняющих размерность и вес, из соответствующих факторизационных теорем. Например, теорема Скляренко [23] о бикомпактификации нормального пространства, сохраняющей его вес и размерность dim, оказывается следствием теоремы Мардешича, а аналогичная теорема для размерности trdim получена К. Йокои [74] и В.А. Чатырко [39] как следствие факторизационной теоремы для размерности trdim. Коллективная факторизационная теорема для размерности dim позволила
А.В. Зарелуа [6] доказать коллективную бикомпактификационную теорему.
Теорема 1.1.3 позволяет следующим образом обобщить бикомпактифи-кационные теоремы Йокои-Чатырко и Зарелуа.
Теорема 1.1.4. Пусть в нормальном пространстве X выделена система замкнутых подпространств v мощности | у | < w X. Тогда существует бикомпактное расширение ЪХ пространства X, такое, что w(bX)-wX и trdimclbXF < trdimF, f ev.
Наряду с теоремой Мардешича, частое применение находит доказанная в 1964 году Б.А. Пасынковым [13] факторизационная теорема для отображений в метризуемые пространства. С ее помощью можно, например, доказать равенство размерностей dim и Ind для нормальных пространств, обладающих замкнутым и нульмерным в смысле dim отображением в метризуемое пространство (Б.А. Пасынков [14], 1964 г.) или даже в замкнутый образ метризуемого пространства (т.е. лашневское пространство) (И.М. Лейбо [9], 1975 г.). Факторизационная теорема Пасынкова была распространена на случай счетной системы замкнутых подпространств (А.В. Архангельский [4], 1967 г. и Б.А. Пасынков [15], 1968 г.) и, даже более того, счетной системы z-вложенных подпространств (М. Хараламбус [38], 1991 г.) отображаемого пространства. Напомним, что подпространство М топологического пространства X называется z-вложенным в X, если любое функционально замкнутое множество из М есть ограничение на М некоторого функционально замкнутого множества из X.
Решая задачу распространения основных характеризаций размерности на возможно больший класс пространств, К. Нагами [56, 58] в 1970 г. ввел в

пространства 7 замкнутыми множествами и непрерывное отображение р :7->7 пространства Y на метризуемое пространство 7, такие, что р Mt
есть гомеоморфизм на замкнутое в 7 подпространство р(м,), i <а> [57].
Пусть / : X х М i -> [0,1] - непрерывная функция, i < со . Согласно [67, Теорема 4 (E.Michael)] существует функция F:XxY —>[0,1], являющаяся непрерывным продолжением на XxY функции
f°(idxxpM, ) 1 :Ххр(1Ц.)->[0,1].
Тогда функция
F°(idxxp):XxY -> [0,1] есть непрерывное продолжение / на XxY.
Так как dim X х М t < dim X + dim М1, i <а>, то из теоремы счетной суммы для размерности dim тихоновских пространств следует (*). Теорема доказана.
Теорема 2.1.10. Если пространство 7 есть замкнутый образ а-локалъно бикомпактного а-метризуемого пространства, то 7 а-метризуемо.
Доказательство. Пусть (р .Т —>Y - замкнутое отображение сг-локально
бикомпактного сг-метризуемого пространства Т на пространство 7. Пространство Т есть сумма замкнутых локально компактных и метризуемых подпространств Г, ,/<&). Так как пространство <р (Г,) сг-метризуемо [5, гл. VI, № 94], то 7 <т-метризуемо. Теорема доказана.
Следствие 2.1.11. Если X - R-пространство и Y - замкнутый образ а-локалъно бикомпактного а-метризуемого паракомпакта, то выполняется неравенство (*).