Точные представления полугрупп идемпотентов матрицами над полем

• Автор: Зяблицева, Лариса Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Архангельск
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение
1. Точные матричные представления полугрупп преобразований конечного ранга, являющихся полурешеткой
полугрупп правых нулей
1.1. Представление полугруппы Э полугруппойщреобразова-

1.2. Построение представления для полугруппы Я, являющейся полурешеткой двух полугрупп правых нулей
1.3. Построение представления полугруппы, являющейся полурешеткой трех полугрупп правых нулей, с тремя собственными идеалами
1.4. Построение представления полугруппы, являющейся полурешеткой трех полугрупп правых нулей, с двумя собственными идеалами
1.5. Построение представления полугруппы, являющейся полурешеткой конечного числа полугрупп правых нулей
1.6. Проверка гипотезы о том, что конечность ранга преобразований полугруппы преобразований является достаточным условием того, чтобы полугруппа имела точное матричное представление над некоторым полем
2. Представления полугрупп преобразований бесконечного ранга, являющихся полурешетками полугрупп пра-

вых нулей
2.1. Достаточное условие, при котором некоторая полугруппа Б не имеет точного представления матрицами над полем
2.2. Построение представления для полугруппы Б, являющейся полурешеткой двух полугрупп преобразований, являющихся полугруппами правых нулей, причем ранг преобразований одной полугруппы бесконечен
3. Достаточные условия наличия точного матричного представления у связки
3.1. Точные матричные представления полугрупп, являющихся полурешеткой полугрупп правых нулей
3.2. Достаточное условие наличия точного матричного представления связки, являющейся полурешеткой конечного числа прямоугольных полугрупп
3.3. Точные матричные представления полугруппы, являющейся полурешеткой правых связок изоморфных групп
Библиография
Введение
Теория представлений полугрупп имеет уже долгую историю и богата содержательными результатами. Мы даем краткий обзор основных направлений и достижений этой теории, связанных прежде всего с именами Клиффорда, Манна, Понизовского, Окшшьского, Путчи.
Началом теории представлений полугрупп следует считать теорию Клиффорда представлений вполне 0-простых полугрупп([18], также гл.5 т.1, монографии Клиффорда и Престона). Именно, Клиффорд показал, как, зная все представления структурной группы вполне 0-простой полугруппы Б, можно построить(с точностью до эквивалентности) все представления Б.
Следующий важный шаг - теорема Манна - Понизовского [23;4,5], дающая критерий полной приводимости всех представлений конечной полугруппы - обобщение известной теоремы Машке. Здесь впервые появился в литературе таинственный класс конечных регулярных полугрупп с квадратными обратимыми структурными матрицами главных факторов(абстрактная характеристика полугрупп этого класса неизвестна до сих пор). Еще в своей кандидатской диссертации Поыизовский показал, что к этому классу относятся все конечные инверсные полугруппы(этот факт сейчас выглядит тривиальностью). И лишь сравнительно недавно соединенными усилиями ряда математиков (Фадцеев[15], Манн - устное сообщение, Окниньский и Путча[27], Салва[30], Ковач[22]) были найдены совершенно нетривиальные примеры полугрупп упомянутого класса. Самый интересный из них -полная полугруппа матриц над конечным полем характеристики, от-

мент 7г(нц),г = 1, гг, то есть
где с - это столбец из п. элементов, в 1-той строке которого стоит эле-
( 7Г (м31) тг(«3г)
_ л-(изп)
Таким образом, Ф(г3) показывает, в какие элементы переводит г3 классы Щг-
Доказательство леммы проводится в следующем параграфе.
Перед тем, как перейти к более общему случаю, заметим некоторые закономерности в представлении элементов полугрупп Б, описанных в параграфах 2, 3, 4. Если мы рассматриваем Ф(гг),г,- 6 Яг-, то обязательно ненулевой будет, ьтая снизу (клеточная) строка.
Поэтому оказывается удобным пронумеровать (клеточные) строки снизу. Также для удобства пронумеруем (клеточные) столбцы справа. Матрицы в Ф(г,) оказывается удобным нумеровать тремя индексами: 1, 1с, д Эти индексы в матрице а- указывают:
1 - что а - это одна из матриц в клеточной матрице Ф(гг-), к - что агк] находится в к-той снизу клеточной строке Ф(гг-),
] - что ах находится в ртом справа клеточном столбце Ф(гг). Рассмотрим, для примера, как задано Ф(гг) в лемме 1.3.3.
Ф(г2)
1 о о о ох

б О Е
0 б"
Здесь Е — а, б" - а3, 1 = аь Ь = а±.
Можно заметить: 1?2 = гпДДг, 2), #1 — т/(Д2,Я3),
— гп/(1?2, Д1), то есть ненулевыми матрицами в Ф(гд) оказываются