О дискриминантах полилинейных форм

• Автор: Долотин, Валерий Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 33 с.

Актуальность темы. Исследование детерминантов многомерных матриц может быть полезным уже в линейной алгебре, которая существенно занята прямоугольными матрицами. Хорошим примером (см. Раздел 1) является трехмерная формулировка теории кронеккеровских пар, которая в этом контексте получает непосредственное обобщение. Также интересно получить обобщение теории собственных значений. Теория собственных значений в различных вариантах эквивалентна исследованию матриц типа А + А В, где А и В есть пара п х п матриц, и инвариантов этой пары, что можно выразить в терминах ОЬ(п) х СТ(п)-действия на п х п х 2 формах (3-мерных матрицах). Подобным образом ’’многомерная теория собственных значений” сводится к инвариантам 3-мериых матриц большего формата. В работе введено понятие ранга «/-линейных форм, введена координатизация на пространстве орбит «/-линейных форм под действием линейной группы, частным случаем которой являются плюккеровы координаты на грассмановом многообразии.
Исследование условий вырожденности полилинейных форм для случая симметрических форм непосредственно связано с вопросом вырожденности п-арных форм (однородных многочленов от п переменных) степени с/ и приводит к вычислению дискриминантов многочленов многих переменных. В этой работе мы покажем, как инварианты п-арных форм можно получать из дискриминантов полилинейных форм (детерминантов многомерных матриц), что следует рассматривать как обобщение операции взятия классических гессианов и результантов. В частности, эту технику можно применить (см. Раздел 3) для получения генераторов алгебры инвариантов бинарных форм.
Мы можем изучать вырожденость «/-линейной формы в терминах структуры множества критических точек соответствующей однородной полиномиальной функции. В случае квадратичных форм такое рассмотрение привело к-.методу стационарной фазы для вычисления интегрального преобразования тцпа Гаусса (т.е. квадратичного). В физике это преобразование имеет бесконечномерный аналог, называемый континуальным интегрированием. Подобная же техника может быть развита (см. Раздел 4) для интегральных преобразований относительно форм степени 3 и выше. Результатом таких преобразований являются аналитические функции (называемые корреляционными функциями в физике) от коэффициентов формы имеющие полюса как раз на дискриминантном множестве формы.
Цель работы. Нахождение алгоритма вычисления дискриминантов (условия сингулярности) алгебраических многообразий. Развитие новой техники вычисления инвариантов п-арных форм. Развитие техники вычисления нового интегрального преобразования.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Приведен алгоритм вычисления дискриминантов (условий сингулярности) алгебраических многообразий. Дано определение ранга мультилинейной формы. Введена новая дифференциальная операция - гиперполяризация - для п-арных на основе которой развита новая техника вычисления инвариантов п-арных форм. Введено новое интегральное преобразование и даны точные формулы для его вычисления. Результаты могут быть использованы для выяснения вырожденности систем алгебраических уравнений от многих переменных, для вычисления генераторов колец нвариантов п-арных форм, для чи-

елейного континуального интегрирования в квантовой теории поля.
Апробация. Результаты диссертации докладывались на семинарах И.М.Гель-фа.нда (Университет Rutgers, США 1994-95 гг.), на конференции ”Функциональный анализ” (г.Нэшвилл, США, 1995 г.), на семинаре Э.Б.Винберга (МГУ, ноябрь 1997), на 2-х заседаниях семинара И.Р.ІПафаревича (МИРАН, май 1997 г.), на семинаре С.П.Новикова (МИРАН, июнь 1997 г.)
Публикации. По теме диссертации опубликованы 2 работы, указанные в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 32 страницах. Нумерация сквозная. Библиография из 6 наименований.

О дискриминантах полилинейных форм
В.В.Долотин
Математический Колледж, Независимый Московский Университет
Abstract
Дав алгоритм вычисления дискриминантов полилинейных форм. Развита техника вычисления условий вырожденности и других инвариантов га-арных форм. Введено интегральное преобразование относительно форм степени 3 и выше (аналог преобразования Гаусса для квадратичных форм).
О Введение
Для некоторых объектов полилинейной алгебры уместно использовать терминологию из линейной алгебры (см. [1]). Так для множества коэффициентов d-линейной формы будет использоваться термин ’’d—мерная матрица”, а для ее дискриминанта (см. определние ниже) мы можем использовать слово ’’детерминант” причем также имеет смысл понятие ’’минора”.
Исследование детерминантов многомерных матриц может быть полезным уже в линейной алгебре, которая существенно занята прямоугольными матрицами. Хорошим примером (см. Раздел 1) является трехмерная формулировка теории кро-неккеровских пар, которая в этом контексте получает непосредственное обобщение. Также интересно получить обобщение теории собственных значений. Теория собственных значений в различных вариантах эквивалентна исследованию матриц типа А + А В, где А и В есть пара п х п матриц, и инвариантов этой пары, что можно выразить в терминах GL(n) х GL(n)-действия на п х п х 2 формах (3-мерных матрицах). Подобным образом ’’многомерная теория собственных значений” сводится к инвариантам 3-мерных матриц большего формата.
Исследование условий вырожденности полилинейных форм для случая симметрических форм непосредственно связано с вопросом вырожденности гс-арных форм (однородных многочленов от п переменных) степени d и приводит к вычислению дискриминантов многочленов многих переменных. В этой работе мы покажем, как инварианты гг-арных форм можно получать из дискриминантов полилинейных форм (детерминантов многомерных матриц), что следует рассматривать как обобщение операции взятия классических гессианов и результантов. В частности, эту технику

(15) ограничением ее на диагональ, т.е. полагая щ = ... = vj, — v. Это ограничение вызывает нарушение симметрии в значении Z(S) - оно преобретает ненулевую мнимую часть.
Утверждение 33 Пусть dim У = п. Тогда
Z(S) := I exp (iS(v))dv = jjeg5 exp{insgn(S))
где A(n,d) есть константа (которую еще нужно вычислить для общих значений п и d), D(S) есть дискриминант S, т.е. условие особости алгебраической гиперповерхности (н) = 0 6 V, а фаза sgn(S) есть функция на множестве компонент связности SdV*D(S).
Дискриминантное многообразие D(S) дает разбиение пространства SdV* п-арных форм (с вещественными коэффициентами) и ’’фазовая” функция постоянна на каждой из этих компонент и претерпевает скачок когда набор коэффициентов S пересекает дискриминантную поверхность при переходе к другой компоненте. Таким образом ’’фазовая функция” sgn(S) различает компоненты дополнения к дискриминантному множеству. Первый пример этого явления - формула 14. Там Л = Л(п,2) = W2.
Пусть dimV = 2 (случай бинарных форм, когда базовое пространство состоит только из 2-х точек), так что S(v) — aj,xd + axd~ly + ... + aQyd. В этом случае deg5 = 2{d — 1). Тогда:
Z{S) := J exp(i(adXd -+- axd~ly + ... + aoyd))dxdy v
= Iд(5)-1) ехР(*™<7™())
здесь D(S) есть обычный дискриминант многочлена степени d. Для бинарных форм число компонент дополнения к дискриминантному множеству имеет геометрическую интерпретацию в терминах корней многочлена S, значения sgn(S) на этих компонентах являются рациональными числами, которые еще нужно вычислить в общем случае.
Пример 20 S = ах2 + Ьху + су2. Тогда Л(2,2) = п и дискриминантная поверхность разделяет 3-мерное пространство S2V* Э (а,Ь,с) коэффициентов на следующие три компоненты:
D1 = — ас < 0, а > 0, с > 0, }
D2 - {(I) - ос < 0, а < 0,с < 0}
Аз = {(|)2 - ас > 0}