Дизъюнктивное свойство и канонические формулы в классе расширений минимальной логики

• Автор: Стукачева, Марина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 121 с.

1 Предварительные сведения

2 Дизъюнктивное свойство в классе расширений минимальной логики

§2.1 Дизъюнктивное свойство напарников паранепротиворечивых расширений минимальной логики

§2.2 Дизъюнктивное свойство логики

§2.3 Дизъюнктивное свойство логики Ькр

§2.4 Другие примеры паранепротиворечивых логик с ПР

3 Канонические формулы для расширений минимальной логики

§3.1 Алгоритм выделения

§3.2 Опровержимость на модельной структуре

§3.3 Канонические формулы

§3.4 Некоторые приложения техники канонических формул для

расширений минимальной логики
§3.4.1 О моделях паранепротиворечивого аналога
логики Скотта
§3.4.2 О моделях паранепротиворечивой логики Ьвкр
Литература и работы автора по теме диссертации

Одним из бурно развивающихся направлений современной неклассической математической логики является область па,рапепротиворечивых логик — логик, которые допускают противоречивые, но нетривиальные теории. Паранепротиворечивые логики позволяют осуществлять нетривиальные выводы из противоречивого множества гипотез. Логики, в которых все противоречивые теории тривиальны, называют избыточными. Объективной основой появления паранепротиворечивых логик является стремление отразить средствами логики специфику мышления человека о переходных состояниях, которые наряду с устойчивостью и относительным покоем наблюдаются в природе, обществе и познании, и в разной степени связаны с логическим понятием противоречивости. Противоречивые данные возникают на судебных заседаниях, в дискуссиях, полемике, в научных теориях (прежних и новых) и других сферах интеллектуальной деятельности.
Предшественниками паранепротиворечивой логики как нового вида неклассической формальной логики явились логики H.A. Васильева и Я. Лукасевича. Как новый вид математической логики паранепротиво-речивая логика разрабатывалась в работах польского логика Ст. Яськов-ского. Бразильский математик Н.да Коста, занимающийся исследованиями в области паранепротиворечивой логики, отмечал, что в общем случае эта система должна удовлетворять следующим условиям: во-первых, из двух противоречащих формул р и -ip в общем случае нельзя вывести произвольную формулу ф] а, во-вторых, дедуктивные средства классической логики должны быть максимально сохранены, поскольку они — основа всех обычных рассуждений (в первую очередь должен быть сохранен закон modus ponens). История паранепротиворечивой логики

изложена в работе [4].
Паранепротиворечивая логика связана со многими видами неклассических логик: с модальной логикой (системой К.Льюиса), с многозначными логиками, с релевантной логикой, где тоже не принимается принцип ех соЫгайЫопе дискШЬеР. противоречие влечет все, что угодно. Отвергая этот принцип, паранепротиворечивая логика позволяет изучать феномен противоречия сам по себе.
Минимальная логика Ь] (или, иначе, логика Иоганссона), предложенная И.Иоганнсоном в 1936 году в процессе критики принципа “противоречие влечет все, что угодно” в конструктивных рассуждениях, заслуживает особого внимания как паранепротиворечивый аналог интуиционистской логики 1л. Аксиоматика Ь] получается вычеркиванием ех соЫга(1Шопе диснШШ из стандартного списка аксиом интуиционистской логики, а именно: 1л=Ь]+{1 3 р}.
Как оказалось, в логике Гд для любых формул <р, ф можно доказать, что
~1А Нц ФВ свою очередь, это означает, что связка отрицания теряет смысл в противоречивых Ьфтеориях, поскольку в таких теориях доказуемо отрицание любой формулы. Этот результат объясняет тот факт, что минимальная логика долгое время находилась вне внимания специалистов по паранепротиворечивости. Однако, в последнее время появились многочисленные работы, посвященные логике Иоганссона, в частности, работы С. Одинцова, в которых изучается класс ЛШ расширений логики Ц [16, 17, 18, 19, 20, 21].
В указанных работах найдена одна важная черта, отличающая класс ^-расширений от классов расширений избыточных интуиционистской 1л и модальной К4 логик. Класс ЛЕПЧ имеет нетривиальную, в некотором смысле трехмерную, глобальную структуру, что позволяет свести его описание, до определенной степени, к хорошо изученным классам промежуточных и позитивных логик. Как оказалось, класс ЛБТМ является дизъюнктным объединением трех классов: известного класса промежуточных логик ШТ; класса N£0, состоящего из негативных логик
Ґ. (Уа,ь Є /-1(Ж))(аі?іЬ =» /(а)Д/(Ь));
2. (Уж,у Є ИЧОгЯу => (Уа Є /_1(®))(ЗЬ Є Г1(2/))(аД1Ь));
5. (УжЄИОДКДГДж) ;Є&);
6. ГЯ) С Єї.
§3.1 Алгоритм выделения.
В этом параграфе мы рассмотрим некоторую процедуру, которая по произвольной контрмодели ЛОГИКИ І/ Є ІЕПЧ строит конечную контрмодель с рядом специальных свойств. И хотя эта процедура лишь отчасти имеет алгоритмический характер, мы будем называть ее как и в работе [1] “алгоритм выделения”.
Пусть М=(у/, К, С}, 5, (=}— некоторая модель, построенная на модельной структуре 071 = (И7, Я, (3,5). Зафиксируем формулу (р$.
Каждый элемент а Є И7 задает разбиение множества ЗиЬ(щ) и {Л} на два подмножества:
Па — {Ф Є 5іх%о) и і1} I а Н Д);
Па — {Де 5мЬ(¥?о) и {1} I а ^ Обозначим Па=(Па> Па)'
Произвольное разбиение П=(П1,П° ) множества ЗиЬ(щ) и {1} назовем
регулярным разбиением, если
• <рі а ^2 є П1 ^ VI е П1 и ^2 є П1»
• ¥>і V (р2 є П1 ^ у>і є П1 или ^2 є П
• фі Э (Р2 Є П1 (1 є П1 922 є П1)-