φ-структура на симплектических и ортогональных конечных группах в нечетной характеристике

• Автор: Мохнина, Наталья Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 65 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. ф - группы и леводистрибутивные квазигруппы
Глава 2. Конечные ср - группы и леводистрибутивные
квазигруппы
Глава 3. Сведения о группах Шевалле и их приложения
Глава 4. Вспомогательные утверждения
Глава 5. Доказательство гипотезы для симплектических
групп в нечетной характеристике
Глава б. Доказательство гипотезы для ортогональных
групп в нечетной характеристике
Литература

ВЕДЕНИЕ
Группой называется система С( ) (множество О с бинарной операцией о), для которой выполняются следующие аксиомы:
1) уравнения а ° х = Ь и х »а = Ь однозначно разрешимы при V а,ЬеО;
2) а ° (Ь °с) = (а ° Ь)° с для V а,Ь,с е С.
Исключение ассоциативного закона превращает С Г) в квазигруппу, замена же его на тождество левой дистрибутивности а ° (Ь°с) = (а°Ь)» (а°с) дает новый объект - леводистрибутивную квазигруппу. Привлекательность тождества левой дистрибутивности состоит в том, что в бинарной системе 0(») с ним отображение Ьа = (х -> а х) есть, очевидно, эндоморфизм, а если С(=) квазигруппа, то даже и автоморфизм.
Родоначальниками теории конечных леводистрибутивных квазигрупп можно считать Бурстина и Майера [27], занимавшихся в 20-е годы нашего столетия дистрибутивными квазигруппами, где наряду с тождеством левой дистрибутивности выполняется тождество правой дистрибутивности. Они поняли, что изучение леводистрибутивных квазигрупп требует больших усилий, чем в элементарной теории групп, по-видимому, это обстоятельство вынудило их потребовать выполнение и правой дистрибутивности. Первое отмеченное ими фундаментальное отличие от групп состоит в том, что все элементы равноправны по своим свойствам.
Второе наблюдение: не для всех порядков дистрибутивные квазигруппы существуют. Бурстин и Майер показали отсутствие таких квазигрупп порядков 2 и (без доказательства) 6. Наконец, Бурстин и Майер рассмотрели свойства подстановок Ц = (х -» а°х) и Яа = (х —> х°а). Их замечания по этому поводу оказываются полезными при построении квазигрупп небольших порядков.

Далее развитие теории прослеживается в работах Тойоды [34], Медоча [30], Брака [28], которые изучали определенный тип квазигрупп, характеризующихся тождеством медиальности (а°Ь)"(с°с!) = (а°с)°(Ь с!).
В конце 50-х годов появляются работы Стейна. Он доказал (совместно с Нортоном [31]), что квазигрупп порядка 4т+2 не существует. Другой результат, полученный Стейном, связан с выяснением независимости правой дистрибутивности от левой: удалось построить пример лево- , но не праводнстрибутивной квазигруппы. Вот соответствующая конструкция: в группе С(°) с выделенным
автоморфизмом (р полагаем х°у = х(р(х_1у), причем на (р налагается следующее условие: лишь единица является неподвижным элементом автоморфизма. Такой автоморфиз называется регуларным.
В 1962 году выходит замечательная работа Фишера [28] по конечным дистрибутивным квазигруппам. Ее центральным результатом является доказательство разрешимости грз'ппы правых трансляций Д(О) = <К, = (х —> х ° а) | а,х е 0()>. Разумеется, этим же свойством обладает и группа левых трансляций Ь(О), порожденная отображениями Ьа = (х -» а°х). Работа Фишера впервые продемонстрировала эффективность теоретико-групповых методов при изучении леводистрибутивных квазигрупп. Именно в ней появилась известная теорема Фишера о группах, порожденных классом р-инволюций. В конечном счете разработка круга идей, связанных с этой теоремой, впоследствии привела Фишера к открытию спорадических простых групп его имени.
В это же время происходит значительное расширение исследований в области простых конечных групп. Главным толчком к этому послужила знаменитая теорема Фейта и Томпсона, согласно которой любая конечная группа нечетного порядка разрешима [5].
Много работ посвящено группам с регулярными автоморфизмами.

Далее, необходимо рассмотреть действие и на каждом из пространств V*, в зависимости от того, лежит ли и в С0(а).
A). Приие С (а), g С0(сг) имеем си =-ист.
Предложение 1. и є С (а), 0 С0(сг) переставляет пространства Г и Т.
Доказательство. Возьмём хєг. Имеем cru(x)= -ua(x)= -À,u(x)eV Если xeV, то стц(х)= -ист(х)= Ли(х)є Ґ.
В этом случае (С(а) : С0 (а) ) = 2.
B). Рассмотрим случай и є С0 (сг)
Предложение 2. и є С0(а) переводит в себя V*.
Доказательство. Так как сг- ф-неподвижнын элемент, то uctu‘1=ü.
Возьмём хе V‘. Имеем ctu(x)=uct(x)= au(x)gV*. Если хєУ, то сти(х)= ист(х)= -Хи(х)є V.
При и є С0 (сг), то есть при cru = ист имеем ( С (сг) : С0 (сг) )=1.
Теперь можно выяснить структуруС0 (сг), в зависимости от типа инволюции а.
1). Если ст2 =1, то V±V. Покажем это. Имеем: Vxe V+, yeV" выполняется: [х,у] = [ст(х), ст(у)] = [х,-у] = -[х,у]. Это возможно лишь при [х,у]=0, т.е. V*JLV. Пространства Vі самосопряжены, т.е. они аннулируются не только многочленом f4 (х) , но и f* (х'1). Ограничение метрики на V* невырождено.
Итак, централизатор инвалюции такого типа имеет следующую структуру: C0(cr) = Sp(V+)xSp(r).