Ряды Гильберта и гомологии градуированных алгебр

• Автор: Пионтковский, Дмитрий Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 62 с. : ил.

Содержание
Обозначения и соглашения
Введение
1 Рост ассоциативных алгебр и сильно свободные множества
1.1 Теорема Голода-Шафаревича и гомологии
1.2 Об оценках на число соотношений алгебр
1.3 Алгебры экстремального роста
1.4 Оценки на ряды Гильберта фактор-алгебр
1.5 Алгоритмическая неразрешимость проблемы распознавания экспоненты роста
2 Критерий полных пересечений для многообразий РІ-алгебр
2.1 Многообразия РІ-алгебр и супералгебр
2.2 Комплекс Шафаревича в многообразиях супералгебр
2.3 Ряды Гильберта и гомологии комплекса Шафаревича
2.4 О рядах Гильберта относительно свободных супералгебр
2.5 Случай свободных специальных йордановых алгебр
3 О свободных произведениях в многообразиях РІ—алгебр
3.1 Предварительные замечания
3.2 Классификация многообразий и технические леммы
3.3 Основная теорема
3.4 Стандартные алгебры
Литература

Обозначения и соглашения
к — основное поле
А * В — свободное произведение ассоциативных алгебр А, В W
А * В — свободное произведение алгебр А, В в многообразии РІ (супер) алгебр W
Vect— многообразие алгебр с нулевым умножением Сот — многообразие всех коммутативных алгебр Ass — многообразие всех ассоциативных алгебр Cie — многообразие всех алгебр Ли АН — многообразие всех (не)ассоциативных алгебр FW(X) — свободная (супер)алгебра многообразия W, порожденная множеством X
F — свободная алгебра ранга п в многообразии W Fm '— свободная супералгебра многообразия W. имеющая ранг п по четным порождающим и ранг m — по нечетным
dega — степень однородного элемента а из градуированного векторного пространства, градуированной алгебры или модуля len т — длина монома т
V{x) — ряд Гильберта градуированного векторного пространства V а(х) — производящая функция множества однородных элементов а

Введение
В настоящей работе развивается направление некоммутативной проективной геометрии, связанное с некоммутативными аналогами понятий регулярной последовательности, комплекса Козюля и полного пересечения.
Мы будем называть векторное пространство над основным полем к, ассоциативную £:-алгебру или модуль над ней градуированными, если они Z+-градуированы и конечномерны в каждой компоненте. За исключением специально оговоренных случаев, все алгебры, модули и векторные пространства ниже градуированы. Для такого пространства V (в частности, алгебры или модуля) через V(x) обозначим его ряд Гильберта J2 dim Vix' для множества однородных элементов а 6 V через !>0
а(х) обозначим производящую функция множества а: если а содержит
di элементов степени г, то о(ж) = й,хг.

Градуированная алгебра А = А0 ф Аг ф ... называется связной, если ее нулевая компонента Ло одномерна; связная алгебра называется стандартной, если она порождена компонентой Ai. Иногда мы также будем называть связными алгебры без единицы, градуированные в положительных степенях: такие случаи специально оговариваются. Неравенства между рядами Гильберта понимаются покоэффициентно, то есть
а{Хг > Yli bix' тогда и только тогда, когда а* > 6,- для всех i > 0.
В классической коммутативной алгебре важную роль играет теорема, называемая критерием полных пересечений. Всякой последовательности элементов локального или градуированного коммутативного кольца А ставится в соответствие свободная дифференциально-градуированная супералгебра над ним (комплекс Козюля). Критерий полных пересечений гласит, что последовательность регулярна тогда

A В W выполняется стандартное тождество некоторого порядка.
В Для некоторой градуированной алгебры А из W найдется такое множество однородных элементов р С А, что комплекс Шафаре-вича Iiw(A,p) конечен.
С Для некоторой градуированной супералгебры А из W~ найдется такое множество четных однородных элементов р С А, что комплекс Шафаревича Kw(A,p) конечен.
D “Внешняя” алгебра ранга 1 (то есть свободная W-супералгебра, порожденная единственной нечетной переменной) конечномерна.
Доказательство
Импликация (Иг) => (и) очевидна. Докажем (г) => (Hi) и (гг) (г). Условие (г) необходимо и достаточно проверять для А = FW(X), где X — счетное множество. Тогда, если обозначать через Fmj свободную алгебру многообразия W~ с т четными и / нечетными порождающими, то Kw (А,р) ~ -Fco.s, где s = Card р.
Таким образом, (г) равносильно тому, что в алгебре F = F,tS нулевыми являются все слова, в которых нечетная переменная х встречается ровно N раз, а имеющие произвольную четность переменные у,у2
У ) G'('£ У'2' ) =0,
It£Sn
где а[х 1

(здесь xi
53 МГа(х*и ,xaN-,yx,y2, .) = О,
для произвольного полилинейного неассоциативного слова а, то есть вы-полняется система тождеств Капелли порядка N. Тем самым доказана импликация (г) => (ш)