О наименьших обобщенных числах Харди - Литтлвуда и Гольдбаха в прогрессиях

• Автор: Алауи Мхамеди Абделлах
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 71 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. О наименьшем обобщенном числе Харди - Литтлвуда в арифметической прогрессии
§1. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при к — 1
§2. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при к — 1 и в случае многочлена
§3. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда в случае, когда к
§4. Обобщенные числа Харди - Литтлвуда при произвольном к
Глава II. О наименьшем обобщенном числе Гольдбаха в арифметической прогрессии

Глава III. Об обобщенных числах Гольдбаха в коротких интервалах ... 41 Литература

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая диссертация относится к аддитивной теории чисел, здесь оценивается сверху величина наименьшего натурального числа N, представимого в виде
а(р) + Кп) = N,
где N находится в арифметической прогрессии Dx + 1,х = 0,1
Р + [«?]
Эти задачи можно рассматривать с единой точки зрения, если обратиться к вещественной и р-ади веским метрикам в соответствующих полях.
Эти задачи можно рассматривать как тернарные аддитивные проблемы теории чисел, возможность решения которых с помощью метода тригонометрических сумм была открыта И.М.Виноградовым [4].
Метод Виноградова в дальнейшем совершенствовался и уточнялся им самим, так и другими математиками. А.А.Карацуба предложил метод решения некоторых мультипликативных задач, используя ’’свойство тер-нарности” [12]. Общий метод решения этих задач получил название метода Рамануджана - Харди - Литтлвуда - Виноградова.

В настоящей диссертации мы также используем этот метод. Основное отличие от общего состоит в том, что здесь нам достаточно найти главный член асимптотики в рассматриваемых проблемах тёлько в малой окрестности нуля, а на оставшемся множестве единичного отрезка тригонометрические суммы по модулю оцениваются сверху. Последнее обстоятельство позволяет получать более точный результат, чем в обычной проблеме Гольдбаха [15,25,45,51, 53.]
Отметим, что эффект равномерного распределения значений арифметической функции целая часть по всем возможным арифметическим прогрессиям впервые использовал в своей диссертации К.Буриев [31]. В последнее время Г.И.Архипов, К.Буриев и В.Н.Чубариков [22] воспользовались этим эффектом и явными формулами в теории дзета -функции Римана для оценки мощности особого множества в бинарных аддитивных задачах с простыми числами. Мы применяем методы последней работы [22] в третьий главе диссертации.
Перейдем к ее содержанию. Диссертация состоит из введения и трех глав.
Первая глава посвящена оценке наименьшего числа N вида N =р+ [атк] = I (mod D)
или вида
N = f{n) + [атк] — I (mod D),
где а — вещественное иррациональное число и к — натуральное число; р — простое число, D — натуральное число и /(п) — многочлен с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого не делится на D.
Основы этапы получения оценок таких. Сначала мы получим асимптотику формул
Е л(п)’ Е 1-
п<х пКх
т<ха-1 т<ха~1
n+[amk]—l (mod D) f(та) + [arafc]=! (mod D)
Мы перепишем эти формулы в виде тригонометрических сумм, исходя из следующего факта: при целом z
Г 1, если 2 = 0 (mod D), 0 в противном случае.

Глава II.
О наименьшем обобщенном числе Гольдбаха в арифметической прогрессии
В этой главе мы решаем задачу о наименьшем числе вида р + [да], где р, д — простые числа, а — вещественное иррациональное число, в арифметической прогрессии. Числа такого вида мы называем обобщенными числами Гольдбаха.
Определение. Величина Т определяется равенством
Из сображений анологичных тем, которые были приведены в первой главе, величину Т можно представить в следующем виде
Т = Т(х)= ; Л(п)Л(ш).
п<х т<ха~1 п+[та=1 (тог! В)

здесь Б (а) и У(а) определены последним равенством.
Теорема 1. Здесь £) — простое число.
Если а — иррациональное алгебраическое число, то при х > справедлива следующая асимптотическая формула
Т = + O(ж1,6(log:r)10) + О ж1,8£> « (кж)10