Об оценках меры иррациональности некоторых значений логарифмической функции

• Автор: Башмакова, Мария Геннадьевна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Брянск
• Количество страниц: 91 с.

1 Введение
1.1 Основные идеи и методы
1.2 Вспомогательные утверждения
1.3 Результаты диссертации
2 Рациональные приближения значений гипергеометрической функций 2F(1, §; |)
2.1 Общая интегральная конструкция
2.2 Основной интеграл и его свойства
2.3 Оценка меры иррациональности -/31п(2 + л/З)
2.4 Оценка меры иррациональности у/21п~^~
2.5 Оценка меры иррациональности чисел вида л/к arctan
2.6 Оценка меры иррациональности arctan
3 Интегральные конструкции Р.Марковеккио и Ю.В. Нестеренко и их соответствие
3.1 Интеграл Р.Марковеккио
3.2 Интегральная конструкция Ю.В.Нестеренко
3.3 Симметризация используемой интегральной конструкции
4 Оценка мер иррациональности чисел вида /2АГ+Т1п
4.1 Основная интегральная конструкция
4.2 Исследование асимптотики
4.3 Оценки знаменателей
4.4 Оценка показателя иррациональности /31п(2 + /3)
4.5 Построение оценок при к
4.6 Оценка показателя иррациональности /51п^
4.7 Оценка показателя квадратичной иррациональности числа
Литература
Приложение
Глава
1.1 Основные идеи и методы
Одним из направлений теории диофантовых приближений является изучение арифметических свойств значений аналитических функций, в частности, приближение их рациональными дробями. Для всякого иррационального числа можно определить количественный показатель, характеризующий меру его близости к рациональным.
Определение 1 Мерой иррациональности (или показателем иррациональности) /Д7) вещественного числа 7 называется нижняя граница чисел ц таких, что для любого £ > 0 существует qo(£) > 0, такое, что неравенство

выполняется для всех целых чисел р, д при д > ?о(є)-
Аналогичным образом можно определить меру квадратичной иррациональности числа д2(7)1 которая фактически описывает приближение данного числа 7 квадратичными иррациональностями.
3.1 Интеграл Р.Марковеккпо
и оп — Уду Тогда
(А~1)и(кп^п,кп,1п,тп^п]х) е %[х,
ВпУ (кп, ,7гг, кп,1п, тп, дп; х), (/гп, Дг, Ьг, /п, тгг, дп; ж) € 2[ж].
Преобразуем интеграл Р.Марковеккио. Хотя первоначальный интеграл содержит 5 независимых параметров: /г,у,&Д,т, в работе Р. Марко-веккио было указано, что все новые результаты получены при параметрах, удовлетворяющих соотношениям
0 < к — q С учётом этого упростим интеграл, оставив только параметры к, к, т и внесём небольшие изменения, симметризующие подынтегральную функцию относительно замены х на К Рассмотрим интеграл:
гоо —гоо , , . ,,
тм _ [ Г зН^х^^дзсИ
У У (1 д^Ь+к-т+1 ^ £^к+т—к+1 ^ ^;)к+т-к+1 ’
5=0 г=о
где х € К, 0 < х < 1; /г, к, т Е Ж+ и такие что к + к — т > 0, тп + к — к > О, то + /г — к > 0, к + т — к - нечётно. Будем также полагать, что к, к, т удовлетворяют условиям (3.7).
Утверждение 3.2 Имеет место равенство:
Т(-) = Т(х). (3.9)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: Сделаем в интеграле Т(х) замену переменных, имеем Т(х)