Гомологические размерности и полудуализирующие комплексы

• Автор: Герко, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 47 с.

1 Предварительные сведения
1.1 Основные классы локальных колец
1.2 Коммутативная алгебра комплексов
1.3 Удобные модули
2 Полудуализирующие комплексы и Сх размерность
2.1 Общие сведения
2.2 Структура множества лолудуализирующих комплексов
3 РС1 размерность
4 СМ размерность
Литература

Гомологические методы в коммутативной алгебре являются одним из самых мощных средств в арсенале исследователя. Важная теорема о локализуемое свойства регулярности локального кольца является примером утверждения, которое достаточно легко доказывается гомологическими методами, при том, что доказательство, использующее только классические методы, неизвестно.
Основным моментом в доказательстве этой теоремы является утверждение о том, что проективная размерность характеризует регулярные кольца в следующем смысле: любой модуль над регулярным кольцом имеет конечную проективную размерность и, обратно, из конечности проективной размерности поля вычетов следует регулярность кольца.
Общая идея Ауслендера, высказанная им в начале 60-х, состоит в том, что модули конечной проективной размерности над (не обязательно регулярным) кольцом во многом ведут себя так же, как модули над регулярными кольцами.
Примером свойства, которое в рамках этого подхода было обобщено с модулей над регулярными кольцами на модули конечной проективной размерности ([24]), является следующее предложение: если последовательность элементов кольца Я регулярна относительно модуля М, то она регулярна относительно Я.
Основной мотивацией для исследования гомологических размерностей, характеризующих другие типы колец, важные для алгебраической геометрии, в частности, локально полные пересечения, кольца Горенштейна и кольца Коэна-Маколея, является поиск разумного описания модулей, свойства которых были бы аналогичны свойствам модулей над кольцами соответствующих типов.
Подобные классы модулей неоднократно возникали в разных задачах коммутативной алгебры.
Для колец Горенштейна соответствующий класс рассматривался Ауслендером и
Бриджером в [3], и задавался следующим образом: Положим G-dimM = 0, если естественное отображение М —> Hom(Hom(M, Д), Д) есть изоморфизм и Ext*H(M, R) = 0 = ExtR(М*, Я) при г > 0. Точную нижнюю грань длин резольвент модуля М, составленных из модулей Р с G-dim Р = 0, будем обозначать через G-diinjW.
Для полных пересечений соответствующий класс модулей, названных модулями конечной виртуальной проективной размерности (vpd), возник в работе Аврамова [6] при изучении свойств чисел Бетти модулей бесконечной проективной размерности. Размерность vpdRM полагалась конечной, если существует сюръективный гомоморфизм колец S —> R, где Д - пополнение R в щ-адической топологии, такой, что ядро гомоморфизма порождено регулярной последовательностью и pds(M й) < оо. Для (возможно) более широкого класса модулей конечной CI-размерности (см. определение 3.2), рассматривавшегося в |9] и также характеризующего полные пересечения, были доказаны некоторые утверждения, справедливость которых для виртуальной проективной размерности неизвестна, в частности, хорошее поведение при локализации. К тому же, модули конечной CI-размерности в некоторых задачах действительно демонстрируют поведение, сходное с поведением модулей над полными пересечениями. Наиболее важным примером является асимптотические свойства свободных резольвент, являющиеся главным предметом работы [9], также упомянем работы (20], [1| и [11], где с модулей над полными пересечениями на модули конечной CI-размерности обобщается формула глубины, и работу [1], где обобщается критерий свободы Ауслен-дера.
Перечисленные размерности связаны цепочкой неравенств pdR М < CI-dimR М < G-dimRM, частным случаем которой при М = к является следующее утверждение: R - регулярно => R - полное пересечение => R. - горенштейново.
Все необходимые предварительные сведения из коммутативной и гомологической алгебры собраны в Главе 1.
Будем говорить, что задана обобщенная гомологическая размерность, характеризующая класс колец П, если для любого кольца R заданы класс модулей HR и отображение H-dimR из Hr в Ъ. Перечислим некоторые из ограничений, которые разумно наложить для получения содержательного понятия.
I. к = Д/m £ HR <=> для любого Д-модуля М е HR Д € П.
II. М € Hr =Ф- H-dimR М + depth М — depth Д.