Многообразия альтернативных алгебр с тождеством [x1,x2,...,x5]=0

• Автор: Ваулин, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 73 с.

ф ГЛАВА! ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

СЛЕДСТВИЯ ТОЖДЕСТВА [х1}х2 х5]

§ ! Основные понятия и обозначения

§ 2. Тривиальность грассманова идеала

ГЛАВА 2. СТРОЕНИЕ РЕШЕТОК МНОГООБРАЗИЙ

АЛГЕБР С ТОЖДЕСТВОМ [Хі,х2,х3,х4}

§1.0 многообразии ассоциативных алгебр

§2.0 решетке многообразий альтернативных алгебр с

тождеством энгелевости [х, у, у] = 0 индекса

• ГЛАВА 3. ШПЕХТОВОСТЬ МНОГООБРАЗИЯ АЛГЕБР

С ТОЖДЕСТВОМ [хих2 хъ

§ ! Многообразие альтернативных алгебр
с тождеством Тэди [(х,у,г),Ц
§ 2. Функции ],да,д* и их основные свойства
§ 3. Шпехтовость многообразия £81(5)
ГЛАВА 4. БАЗИС ТОЖДЕСТВ АЛГЕБРЫ ГРАССМАНА
• МНОГООБРАЗИЯ ШІП £81(5)
§ ! Вспомогательная супералгебра
§ 2. Ассоциативная алгебра с тождествами
[[я>3/],М] = 0 И [х,у]-[х,г]
§ 3. Основные тождества алгебры Грассмана
§ 4. Базис тождеств алгебры Г рассмана
ЛИТЕРАТУРА

Теория многообразий алгебр в настоящее время представляет собой довольно обширный и активно развивающийся раздел теории колец. Ядром этого раздела является значительно развитая теория многообразий ассоциативных алгебр, в рамках которой получено много глубоких результатов. Среди большого круга вопросов теории многообразий важное место занимает изучение строения идеалов тождеств различных многообразий, нахождение и исследование систем порождающих этих идеалов (базисов тождеств). Так в 1950 г. возникла проблема Шпехта: верно ли, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 задается конечным набором тождеств?
В связи с этой проблемой появилось важное понятие шпехтовости: многообразие называется шпехтовым, если оно само и любое его собственное подмногообразие имеет конечный базис тождеств. Формально более слабым условием является понятие унитарной шпехтовости, которое означает, что всякое подмногообразие, порожденное алгеброй с единицей, имеет конечный базис тождеств. На языке решеток шпехтовость означает, что любая убывающая цепь подмногообразий стабилизируется на конечном шаге.
Вопросам шпехтовости и унитарной шпехтовости различных многообразий, таких как многообразия ассоциативных, лиевых, альтернативных и йорда-новых алгебр, посвящена обширная литература: В.А. Артамонов [2,3], А.Р. Кемер [1, 16-18], В.Н. Латышев [21-26], Ю.А. Медведев [28,29],
С.В. Пчелинцев [32-35], Ю.П. Размыслов [37, 38] и др.
Серьезный интерес к проблеме конечной базируемости многообразий алгебр Ли проявлял академик А.И. Мальцев. Эта проблема представляет несомненный интерес и для других многообразий алгебр, прежде всего, альтернативных и йордановых.
Одним из первых в нашей стране начал заниматься проблемой Шпехта профессор В.Н. Латышев. В частности, в 1972 году он доказал, что многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0, удовлетворяющих тождеству [[æ1,æ2 æn_2],[xn_1,æn]] = 0, является конечно-базируемым [23]. В 1987
проблему Шпехта решил А.Р. Кемер [18], доказав, что всякое многообразие ассоциативных алгебр над полем характеристики 0 имеет конечный базис тождеств. Однако, над полями конечной характеристики, существуют бесконечно базируемые многообразия [8, 9, 41].
В 1976 г. А.М. Слинько в Днестровской тетради [10] сформулировал проблему о конечной базируемости произвольного многообразия разрешимых альтернативных (йордановых) алгебр. В том же 1976 г. В.П. Белкин [7] доказал существование бесконечно базируемых многообразий правоальтернативных алгебр - это первый пример бесконечно базируемого многообразия в теории колец, близких к ассоциативным.
Примерно в это же время С.В. Полин доказал существование многообразия, порожденного некоторой конечной алгеброй над произвольным конечным полем, имеющее бесконечный базис тождеств. Немного позже И.В. Львов [27] построил 6-мерную неассоциативную алгебру, обладающую указанными свойствами. Кроме того, оказалось, что решетка подмногообразий многообразия, порожденного этой конечной алгеброй, бесконечна.
Для конечных ассоциативных, лиевых, альтернативных, йордановых и мальцевских колец ситуация в корне иная: любое конечное кольцо в каждом из указанных многообразий порождает кроссово многообразие (И.В. Львов; Ю.А. Бахтурин и А.Ю. Ольшанский; Ю.А. Медведев [6]).
Ряд глубоких результатов о решетках многообразий алгебр и цепных многообразиях получили Г.В. Дорофеев [11, 12] и В.А. Артамонов [2, 3].

е2к1 92п+г8 = е2к ' 92п+1 ~ 9гп+1 ' е2к = 9 ~~ (~ПР + в) — ПР2к+2п+1’
[^26+4) @271+1 ]5 = 4й+4 ' @2п+1 ~ @2п+1 ' 4|с+4 = Р ~ 4 — Р) ~ ~Чк+2п+5 >
[^24+15 52п+х]8 ~ @2к+1 ' 92п+1 + 92п+1 ' 92к+1
2п к , , 2& + п , .,
= т —пп + е- т — кп + е =

= (* + «) — (Л + г»)Лв
/г+2га+2 Т 2е2й+2п+2 >
[&Ы-1>Р2п+з]а ~ 52Ы-1 ' Р2п+3 "Ь Р2п+3 ’ 02Л-+1 = / ~ ^ + ^ = ^*+2п+4 >
[^2Ь+1>^2;1+5]., ~ 521-+1 ‘ ^2тг+5 Т ^2п+5 ' 521:+1 = ^71+2к+6 Т Ап+2к+6 ~ 2^п+2ь+б •
Таким образом, 1?2 линейно порождается элементами {ЪыРък+иКк+иЬь+иЪь+ь}- Найдем, какими элементами порождается Д. Для этого, достаточно заметить, что, используя лишь элементы
е2А 5^24+35^+4 5 ^+41^+5 5 на одном из мест суперкоммутатора, получаем элементы Р2к+з^2к+4^2к+5- Таким образом, Ь линейно порождается элементами {-?72л+з5^2Л;+45^2*4-5}- Рассуждая аналогичным образом для Ь, получаем, что Ь линейно порождается элементом {/2А.+4}- И, наконец, заключаем, что
4 = {0}
§ 2. Ассоциативная алгебра с тождествами
[Ь,2/],М] = 0 и [х,у]-[х,г]
Рассмотрим дополнительные тождества лиевой метабелевости и кососимметричности произведений коммутаторов:
Те- [|ж,?/],[я,г]] = 0, Г7: [ж,г/]-[ж,г]= 0.