Арифметические свойства спаривания Гильберта на формальных группах

• Автор: Демченко, Олег Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 67 с.

ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ
1°. Проблема получения явных формул для символа Гильберта имеет длинную историю, которая началась с работы Артина и Хассе [2]. В этой работе были получены явные формулы для символа Гильберта в круговом расширении Кп = <0>р( Сп), С Г =1, для пар (а, Сп) и (а, (п - 1), где а — главная единица. В частности,
(„ /- _ 1°еа (? Сп)п — Сп
где Гг = Н Кп/р и р ф 2.
Другой тип явных формул имеет свои корни в формулах Куммера [18]. Результат Куммера на современном языке можно написать следующим образом. Пусть К = ,(Др(1), р ф 2. Для главной единицы £ = 1 + 017Г + а2 7Г2 +
, ч гея х{оп-е/хр)

Мы видим, что в формулах Артина-Хассе ответ дается в виде следа некоторого числа, в формулах Куммера - в виде вычета некоторого ряда. В этом смысле второй тип формул ближе к аналогиям с алгебраическими функциями.
Дальнейшее получение явных формул для символа Гильберта пошло по этим двум направлениям — типа Артина-Хассе и типа Куммера. Надо отметить, что в первом направлении на один из аргументов, например, на второй, всегда накладываются ограничения вида у(/3 — 1) > , где у
гулярное нормирование. Соответствующие явные формулы типа Артина -Хассе в круговом поле <1Д,(Сп) были получены К. Ивасава [16], а в произвольном локальном поле — Ш. Сеном [20]. Полные формулы Куммеров-ского типа в локальном поле были получены независимо X. Брюкнером [6] и С. Востоковым [23].
2°. Понятие символа Гильберта допускает обобщение на случай произвольной формальной группы над кольцом целых локального поля (см. [14])

этом обычный символ Гильберта получается как частный случай обобщенного символа Гильберта для мультипликативной формальной группы. Полной классификации формальных групп в настоящее время не существует, однако приведенное ниже описание некоторых классов формальных групп свидетельствует об их многообразиии.
В локальной теории полей классов исключительно важную роль играет теория формальных групп Любина-Тэйта, которая позволяет конструктивно строить абелевы расширения локальных полей. Формальные группы Любина-Тэйта (см. [19]) находятся ближе всех остальных групп к мультипликативной формальной группе и имеют наиболее простое строение. Они также известны тем, что в отличие от большинства других формальных групп, строящихся но своему логарифму, могут быть определены через выделенную изогению.
Обобщением формальных групп Любина-Тэйта, незначительным с точки зрения теории формальных групп, но достаточно существенным в некоторых аспектах локальной теории полей классов, являются относительные формальные группы Любина-Тэйта (см. [10]). Они также весьма просты по своей структуре и определяются через выделенный гомоморфизм.
Идя дальше по пути обобщения, мы встретимся с таким замечательным классом формальных групп, как формальные группы Хонды (см. [15]). С одной стороны, эти формальные группы вполне изучены и полностью классифицированы, а с другой, представляют собой достаточно общий случай - - например, ими исчерпываются все формальные группы для как базисного поля. Но формальные группы Хонды, хотя и являются обобщением групп Любина-Тэйта, строятся по своему логарифму. Если же мы намереваемся обобщить какие-нибудь результаты, касающиеся формальных групп Любина-Тэйта, на случай групп Хонды, то нам необходимо иметь аналог конструкции Любина-Тэйта с выделенным гомоморфизмом для формальных групп Хонды.
3°. Общий метод получения формул типа Куммера состоит в следующем.
а) В соответствующем модуле (это либо мультипликативная группа классического локального или многомерного локального поля, либо группа точек формальной группы) строится так называемый базис Шафаревича (см. [21]).
б) Задается в явном виде спаривание на том же множестве, на котором определен символ Гильберта. В классическом случае это спаривание на множестве К* х К*, где К — локальное поле; в п-мерном локальном поле К - на множестве КР(К) х К*, где К*°р (К) — топологическая А-группа Милнора; в случае формальных групп — на множестве К* х А(М), где А(М) — группа точек формальной группы А на максимальном идеале М

локального поля К.
Далее проверяются основные свойства построенного спаривания, самыми важными из которых являются инвариантность выбора униформизую-щего элемента и независимость от разложения элементов в ряды по уни-формизующему элементу. В формуле Куммера, например, инвариантность означает, что ответ не изменится, если униформизующую тг = ( — 1 заменить на другую униформизующую; а независимость — что результат не изменится, если выбирать разные разложение аргумента в ряд по тт.
в) Проверка совпадения построенного явного спаривания с символом Гильберта на парах униформизующая, элемент базиса Шафаревича.
г) Проверка совпадения явного спаривания с символом Гильберта на любых элементах, используя инвариантность и независимость явного спаривания, что дает для символа Гильберта явную формулу.
Впервые этот метод был успешно применен в работе [23] (см. также [13, глава VII]) для классического случая символа Гильберта в локальном поле. В дальнейшем он применялся для получения явных формул символа Гильберта в следующих случаях:
а) многомерное локальное поле (см. [27]);
б) формальные группы Любина-Тэйта (см. [12, 24-26, 28]);
в) одномерные формальные группы Хонды для символа Гильберта первой степени (см. [4, 5]).
Отметим, что метод хорошо работает в тех случаях, когда определено

обобщение функции Артина-Хассе Е(х) = ехр(ж + -—|- + ...), которая
впервые появилась в работе [2]. В частности, в случае формальных групп это возможно для групп Любина-Тэйта и формальных групп Хонды, для которых есть полная классификация.
4°. Явные формулы типа Куммера для многомерных групп Хонды были получены В. Абрашкиным [1]. Однако его метод в корне отличается от описанного выше: вместо построения базиса Шафаревича он использует теории р-адических периодов Фонтэна.
Для полноты картины укажем основные результаты, полученные в направлении обобщения формулы Артина-Хассе. Кроме вышеупомянутых работ [2, 16, 20], относящихся к классическому символу Гильберта в локальном поле, для формальных групп Любина-Тэйта формулы типа Артина-Хассе были выведены А. Уайлсом [29] для полей деления изогении [ттп] и В. Колывагиным [17] для поля К, содержащего поле деления изогении [тгп]. Р. Колеман [7, 8] в мультипликативном и частично в случае формальных групп Любина-Тэйта также получил сильные продвижения. Его формула в общем случае формальных групп Любина-Тэйта была про-

так как 0 есть корень из единицы степени, взаимно-простой с р. Аналогичным образом заключаем, что так как (г,р) = 1, то {П, ££’° (#Пг)}_д-п+1Со = О, и предложение полностью доказано. □
4°. Пусть ? = [7гп]|т о г, ш(Ь) = Ер(Ь о 1) для Ъ Е От и сф(Ь), 1 < г < к,
— построены с помощью гц, 1 < г < к. Положим £° = [7ГП/тг['г)]Со,
в*л = [тгп/тг [п))лор,а,Р-
Теорема 4.5. Наборы элементов
{Д(Ь) : Ъ Е От, 1 < г < к}]
{£°(0Пг) : в Е 7г, 1 < г < 9Аех, (г» = 1};
{£р,а(0Пг) : б £ 77,1 < г < дЛв1, (г,р) = 1,а Е Од — обратим, 1 < р < /к}
составляют в совокупности систему образующих О-модуля И(М). При этом
(П,£°(6>Пг'))р = (П,£р'а(6П{))Г = О,
(П .Шг(Ь))р = [Иб](Рг‘)-
Доказательство. Утверждение следует из теоремы 4.4, предложения 1.3,
в) И равенств [7г77г}П)]р„,г£<|(0|Т) = £°(0Пг'), [лП/л{П)>п,’“(0Пг) = £Л“(0П*') = ар(Ь). Эти равенства проверяются непосредственно. Проверим, например, последнее.
[-кп/4п)]к,МЬ) = [жп/п[п)]Рп,ГЕРп(Ъп о 8П)
= [тг/тгхп)]д„а о А“1 о (1 А А А А /32Ж2 + ..)(ЬА„ О вп)
= А-1 о (7гп/7г[п))(1 + (ЗгА + /32А2 А ..){Ьж[пХ о г)
= А-1 о (1 + от▲ А адА2 А )(ЬлпХ о г) = Ер{Ъ о 5)
= 2(Ь). □