Рост разрешимых супералгебр Ли

• Автор: Клементьев, Сергей Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 52 с.

1 Обзор результатов
1.1 Основные определения и обозначения
1.2 Производящие функции, базисы для супералгебр Ли
1.3 Рост конечно порожденных полинильпотентных супералгебр Ли
1.4 Рост почти полинильпотентных алгебр Ли
2 Производящие функции, базисы для супералгебр Ли
2.1 Формула Шрайера для градуированных супералгебр Ли
2.2 Производящие функции для разрешимых супералгебр Ли
2.3 Базисы свободных супералгебр Ли
3 Рост разрешимых супералгебр Ли
3.1 Рост функций аналитичных в единичном круге
3.2 Рост универсальных обертывающих алгебр
3.3 Рост полинильпотентных супералгебр Ли
4 Рост почти разрешимых алгебр Ли
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Настоящая диссертация посвящена исследованию роста конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли и близких к ним алгебр.
Понятие роста является важной характеристикой для изучения бесконечных групп и бесконечномерных алгебр [ 12]. В работе Гельфанда и Кириллова понятие роста было использовано для изучения универсальных обертывающих алгебр нильпотентных алгебр Ли [19]. Также понятие роста возникло в работах геометров для изучения групп.
С другой стороны, для градуированных алгебр определяется ряд Гильберта-Пуанкаре [ 12]. Этот ряд несет содержательную информацию о характере асимптотического поведения алгебры. Он является заменой обычных характеристик, таких как порядок множества, размерность пространства.
Поскольку ряд Гильберта несет всю информацию об асимптотическом поведении алгебры, интересным вопросом для исследования является взаимосвязь свойств функции роста и поведения ряда Гильберта. Еще одним интересным вопросом является рациональность ряда Гильберта [12].
В некоторых случаях вводят новые числовые характеристики, которые оказываются более грубыми чем функция роста, а именно: размерность Гельфанда-Кириллова [ 19], суперразмерность [17] и т.д. Грубо говоря, размерность Гельфанда-Кириллова — это степень полинома в случае полиномиального роста.
Известно, что конечно порожденные свободные ассоциативные и лиевы алгебры имеют экспоненциальный рост [ 1 ], [ 16]. Конечно-порожденные ассоциативные Р1-алгебры (алгебры с нетривиальным тождеством) имеют полиномиальный рост [12].
Конечно порожденные разрешимые алгебры Ли имеют промежуточный рост, быстрее полиномиального, но медленнее экспоненциального [23]. Для изучения такого роста Петроградским В.М. была построена бесконечная шкала эталонных функций, с помощью которой классифицируются алгебры Ли промежуточного роста [8], [28]. Первая ступенька шкалы соответствует конечномерным алгебрам. Вторая — алгебрам полиномиального роста. Следующие ступеньки соответствуют различным типам промежуточного роста идущих вверх к экспоненте, но меньше ее.
Были введены понятия верхней и нижней размерности уровня q (д-размерности). Оказа-

лось, что размерности уровня 2 соответствуют ранее изучавшимся размерностям Гельфанда-Кириллова [ 19], [22], а уровня 3 — суперразмерностям [17]. Размерности следующих уровней соответствуют субэкспоненциальным ростам, которые были названы логарифмическими,
С помощью д-размерностей были классифицированы конечно порожденные разрешимые алгебры Ли, найдены асимптотики их роста [27], [28]. Оказалось, что если свободная разрешимая алгебра Ли ступени q порождена к элементами, то она находится на д-ой ступеньки введенной шкалы, а именно, ее д-размерность равна к.
В настоящей работе основным объектом исследования является рост конечно порожденных разрешимых супералгебр Ли, а также рост почти разрешимых алгебр Ли. Дается классификация их роста с помощью введенного понятия д-размерностей и находятся асимптотики их роста.
Основным инструментом доказательства полученных результатов является техника производящих функций. Используется аналог известной для свободных групп формулы Шрай-ера [30], [31], а также точная производящая функция для разрешимых (более шире, поли-нильпотентных) супералгебр Ли, найденные Петроградским В.М. [31]. Исследование ведется в общности полинильпотентных (супер)алгебр Ли. Понятие полинильпотентности шире понятия разрешимости. Действительно, любая полинильпотентпая (супер)алгебра Ли лежит в некоторой разрешимой (супер)алгебре Ли. С другой стороны, разрешимость является частным случаем полинилыютентности.
Кратко опишем структуру диссертации. В главе 1 вводятся основные определения, обозначения и формулируются основные результаты.
Глава 2 носит скорее технический характер. Здесь мы изучаем производящие функции некоторых полинильпотентных супералгебр Ли, изучаем их асимптотику.
Глава 3 содержит основной результат — теорему 3.6 о росте свободных разрешимых супералгебр Ли. В главе 4 при помощи полученной техники доказывается еще один результат о росте почти разрешимых алгебр Ли.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [36]—[42]. Они докладывались на конференции молодых ученых в г. Ульяновске (2002 г.), Международных конференциях по алгебре проходивших в г. Туле (2003 г.), г. Москве (2004г.), г. Саратове (2004 г.).
Автор пользуется возможностью выразить признательность и благодарность своему научному руководителю, профессору Петроградскому В.М., за постановку задачи и постоянное внимание к работе, за полезные обсуждения и советы.

[14] Шмелькин A.JI. Свободные полинильпотентные группы/Изв. АН СССР. Сер. мат. 28, 1964, № 1,91-122.
[15] Штерн А.С. Свободные супералгебры Ли/Сиб. мат. журн—1986.-Т.27.-С. 170-174.
[16] Yu. A. Bahturin, A. A. Mikhalev, V. М. Petrogradsky, and М. V. Zaicev, Infinite dimensional $ Lie superalgebras, de Gruyter Exp. Math. vol. 7, de Gruyter, Berlin, 1992.
[17] W. Borho and H. Kraft, ÜberdieGelfand-KirilIov-Dimension/Afaf/z. Ann. 220, no 1,(1976), 1-24.
[18] J. Desarmenien, D. Duchamp, D. Krob, G. Melancon, Quelques remarques sur les super-algebres de Lie libres,/С. R. Acad. Sci. Paris, Ser. 1 Math. 318:419-424, 1994.
[19] I. M. Gelfand and A. A. Kirillov, Sur les corps lies aux algèbres enveloppantes des algèbres de Lie//Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. 31,(1966), 509—523.
[20] M. Hall, A basis for free Lie rings and higher commutators in free groups/ZProc. Amer. Math. Soc. 1:575-581, 1950.
[21 ] Seok-Jin, Kang, Graded Lie superalgebras and the superdimension formula//. Algebra 204 (1998), no 2, 597-655.
[22] G. R. Krause and T. H. Lenagan, Growth of algebras and Gelfand-Kirillov dimension. Revised edition. Graduate Studies in Mathematics, 22. AMS, Providence, RI, 2000.
[23] A. I. Lichtman, Growth in enveloping algebras/Israel J. Math. 47, no 4, (1984), 297—304.
[24] J.C. McConnell and J.C. Robson, Noncommutative Noetherian rings. AMS, Providence, RI, 2001.
[25] G. Melancon, Reecritures dans le groupe libre, l’algebre libre et l’algebre de Lie libre. Ph.D. thesis, Univ. de Quebec a Montreal, 1991.
[26] A.A. Mikhalev and A.A. Zolotykh, Combinatorial aspects of Lie superalgebras. CRC Press, Boca Raton, 1995.
[27] V. M. Petrogradsky, Intermediate growth in Lie algebras and their enveloping algebras/ J. Algebra 179,(1996), 459-482.
[28] V. M. Petrogradsky, Growth of finitely generated polynilpotent Lie algebras and groups,

generalized partitions, and functions analytic in the unit circle / Internat. J. Algebra Comput., 9 (1999), no 2, 179-212.