К-тривиальные расслоения на унилинейчатых многообразиях

• Автор: Чельцов, Иван Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

СТРУКТУРА РАБОТЫ
Введение.
§1. История поставленных задач
§2. Основные результаты
§3. Предварительные понятия
§4. Используемые методы
§5. Краткое описание диссертации
Глава I. Свойства подвижных лог пар.
§1. Основные результаты главы I
§2. Глобальные методы: лог пары на расслоениях Мори
§3. Локальные методы: гладкая точка как центр канонических особенностей
Глава II. Лог пары на поверхностях.
§1. Основные результаты главы II
§2. Поверхности дель Пеццо
§3. Двумерные расслоения на коники
Глава III. Лог пары на бирационально жёстких трёхмерных многообразиях.
§1. Основные результаты главы III
§2. Двойное накрытие 1Р3
§3. Трёхмерная квартика
§4. Двойное накрытие квадрики
§5. Трёхмерные расслоения на коники
Глава IV. Продолжения поверхностей.
§1. Основные результаты главы IV
§2. Теорема о <0)-горенштейновости
§3. Доказательство Теоремы 1.1 главы IV
Глава V. О рациональности некоторых трёхмерных многообразий.
§1. Основные результаты главы V
§2. Начало доказательства Теоремы 1.1 главы V
§3. Окончание доказательства Теоремы 1.1 главы V
§4. Одно добавление
§5. Применения Теорем 1.1 и 4.1 главы V
§6. Многообразие Энриквеса
Глава VI. Ограниченность трёхмерных многообразий Фано целого индекса.
§1. Основные результаты главы VI
§2. Многообразия Фано с непустым базисным множеством
§3. Гиперэллиптические и тригональные многообразия Фано
§4. Многообразия Фано, заметаемые “прямыми”
§5. Двойная проекция из общей точки
Глава VII. Поверхности дель Педцо с нерациональными особенностями.
§1. Основные результаты главы VII
§2. Линейчатые поверхности
§3. Численные поверхности дель Пеццо
§4. Численные поверхности дель Пеццо с нерациональными особенностями. 94 §5. Одна конструкция
§6. Классификация
Добавление к главе III.
О гиперповерхностях степени М в Vм
Заключение.
Список литературы по теме диссертации.
ВВЕДЕНИЕ
§1. История поставленных задач.
Основные результаты диссертации восходят к пяти классическим работам: [N0], |Еа1-3] и [Би]. В конце 19-го и начале 20-го века между этими работами было гораздо меньше общего, чем сегодня. Объясняется это в первую очередь революционным прорывом в бирациональной геометрии в конце 80-х годов, сделанным благодаря работам Ю.Каваматы, Ш.Мори и В.В.Шокурова. Новая концепция, названная Программой Минимальных Моделей (ПММ), позволила доказать множество нерешённых проблем и передоказать многие классические результаты. Но что не менее важно, огромное количество ранее казавшихся несвязанными друг с другом направлений оказались близкими с новой точки зрения.
В работах М.Нетера [N0] и Дж.Фано (Еа1] исследовались структуры групп бира-циональных автоморфизмов Р2 и гладкой квартшш в Р4 соответственно. Несмотря на то, что временной интервал между двумя работами - почти полвека, их методы очень близки. Обе работы содержали ошибки, а работа |Еа1] практически была предана забвению до 70-х годов нашего столетия.
В 1971 году вышла работа В.А.Псковских и Ю.И.Манина [ИсМа], которая исправила ошибки работы [Еа1]. С этого момента начался новый период развития бирациональной геометрии. В работе [ИсМа] не только был усилен старый, давно забытый метод работ [N0] и [Еа1], но также был изобретён принципиально новый метод - метод “пробного класса”.
Естественно, новые методы работы [ИсМа] были применены к широкому классу многообразий (см. [ИсЗ]). В основном это были гладкие многообразия с обильным антиканоническим дивизором. Основным стимулом для этого служил тот факт, что все такие многообразия очень напоминают рациональные, но некоторые из них, тем не менее, не рациональны. И первым таким примером среди трёхмерных многообразий была гладкая квартика в Р4. Последнее известно как отрицательное решение Проблемы Люрота (см. [ИсМа]).
В 80-е годы в область действия методов работы [КаМа] попали расслоения на коники. В.Г.Саркисовым в работах [Са1-2] было получено классическое условие на бирациональную жёсткость расслоений на коники. И с помощью них был получен контрпример к Гипотезе Бовиля. А в работах [Ис4-5] был сформулирован и тщательно исследован Критерий Рациональности, который на сегодняшний день почти доказан.
Здесь стоит отметить, что геометрия расслоений на коники интенсивно изучалась с начала 70-х годов методом промежуточного якобиана. Как одно из применений, была доказана нерациональность гладкой трёхмерной кубики. Однако эти методы пока не перенесены в более высокую размерность. Прекрасный обзор о расслоениях на

(4) В1г(Х) = А(Х) и квартика X бирационалъно не изоморфна никакому многообразию Фано с каноническими особенностями отличному от неё самой.
Теорема 1.3. Пусть в : X —> С} - двойное накрытие гладкой квадрики С), разветвлённое в гладкой поверхности высекаемой на квадрике <5 квартикой. Тогда
(1) многообразие X бирационалъно не изоморфно никакому расслоению на коники и расслоению на рациональные поверхности,
(2) если многообразие X бирационалъно изоморфно расслоению на эллиптические кривые т : У —> 2 посредством отображения р, то отображение тор есть композиция двулистного накрытия В и проекции из некоторой прямой на квадрике <5,
(3) если многообразие X бирационалъно изоморфно расслоению на. поверхности с размерностью Кодаиры ноль т : У" —> 2 посредством отображения р, то существует пучок V в линейной системе — Кх> такой что тор — фр,
(4) если многообразие X бирационалъно перестраивается в многообразие Фано У с каноническими особенностями, то либо У = X, либо У = Хс1 для некоторой “прямой” С на многообразии X.
Теорема 1.4. Пусть тг : X —> 5 - трёхмерное расслоение на коники с терминальными 0>-факориалъными особенностями и Р1с(Х/3) = Ъ, такое что лог пара
имеет канонические особенности и выполнено равенство
к{Х,о3) = 2,
где В3 - дивизор вырождения морфизма тг. Тогда многообразие X не может быть бирационалъно перестроено в многообразие Фано с каноническими особенностями, расслоение на поверхности дель Пеццо, расслоение на коники бирационалъно неэквивалентное расслоению -к, расслоение на эллиптические кривые, расслоение на поверхности с размерностью Кодаиры ноль.
Мы опустим доказательства Теорем 1.1-1.4, поскольку они выводятся из перечисленных выше теорем аналогично тому как в главе II Теоремы 1.1 и 1.2 выводятся из Теорем 2.3, 2.4, 2.5, 3.1, 3.3 и 3.4.
§2. Двойное накрытие Р3.
В этом параграфе мы применим результаты главы I к исследованию свойств лог пар на двойном накрытии Р3. Геометрия этого многообразия очень напоминает геометрию поверхности дель Пеццо с квадратом антиканонического класса 1.
1 Определение многообразия Хс содержится в параграфе 4.