Индуцированные порядки в булевых решетках и фактор-отношениях универсального отношения

• Автор: Одинцов, Вадим Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 95 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Объект и направление исследования
2. Постановка задачи
3. Методика исследования
4. Основные результаты
1 Вложение частично упорядоченных множеств в булевы решетки
1. Неподвижные точки /-ЭНД0М0рфиЗМ0В конечной булевой
решетки в индуцированной частичной упорядоченности
1.1. Неподвижные точки изотопных преобразований решеток
1.2. Левые модули над двухэлементной булевой алгеброй
1.3. Полулинейные преобразования свободного 5-модуля
1.4. Неподвижные точки эндоморфизмов свободного 13-модуля
1.5. Неподвижные точки эндоморфизмов булевой решетки
1.6. Неподвижные точки полуэндоморфизмов свободного В- модуля
1.7. Представление дистрибутивных решёток решетками неподвижных точек
2. Интерпретация неподвижных точек в логике Брауэра

2 Частичный порядок на фактор-отношениях универсального отношения
3. Факторы Дедекинда частично упорядоченных множеств
4. Решётки факторов Дедекинда и их конгруэнции
4.1. Подпрямая неразложимость решёток факторов
4.2. Решётки конгруэнций решёток факторов
4.3. Алгебраические свойства конгруэнций
5. Идеалы и коидеалы решёток факторов Дедекинда
5.1. Строение идеалов и коидеалов
5.2. О локальном строении решетки многообразий решеток
Литература

Введение
В диссертации изучаются частичные порядки, индуцированные некоторыми данными частичными порядками, и частичные порядки, являющиеся их ослаблениями. Последние порядки также можно называть индуцированными, если в определении индуцирования исходить из бинарного отношения. Действительно, пусть рСРхРкр- порядок с диагональю {(ж, ж) : х 6 Р}. Пусть <5 С р и 8 - порядок с диагональю {(х,х) : х £ СДФ С Р}. Будем называть 8 частичным порядком на <5, индуцированным частичным порядком р.
1. Объект и направление исследования
Важную роль в развитии теории решеток играет специфическая связь между свойствами решеток, рассматриваемых с одной стороны как частично упорядоченые множества, а с другой - как универсальные алгебры с двумя бинарными операциями. В обзоре Дилуорса [15] эта связь прослеживается по следующим четырем направлениям.
1. Роль диаграмм Хассе в теории решеток не только как средства изображения, но и как важнейшего инструмента исследования, к примеру, характеризация многообразий решеток с помощью диаграмм конечных ’’запрещенных” подрешеток.
2. Роль частичного упорядочения при изучении проблем вложения, когда рассматриваются различные операторы вложения частично упорядоченных множеств в полные решетки и различные конструкции их

Пусть Ь - свободный 5-модуль с базисом (е* : г = 1
Предложение 1.5. Аптиэкстенсивпые элементы эндоморфизма <р свободного В-модуля Ь образуют в нём подмодуль, базис которого состоит из попарно различных элементов множества {(<£>Д)” : г

Доказательство. Пусть Р - множество антиэкстенсивных элементов эндоморфизма р. Тогда Р Э 0, т.к. <р0 = 0. По лемме 1.2 Р = Ьрм, где Ь - множество неподвижных точек оператора уР, являющегося рефлексивным замыканим оператора у>. По следствию 1.1 - подрешётка в Ь. Таким образом, Р - подмодуль в Ь и решётка Р -подрешётка решётки Ь. Далее, для некоторого х € Ь выполнено х € Р

тогда и только тогда, когда уРх — х. Пусть х = V уР — V аеь,
г=1 к
г = 1,
если и только если х - собственный вектор матрицы Ау с собственным значением 1. (Последние слова, вообще говоря, здесь являются лишними, т.к. векторов с собственным значением 0 у матрицы Л7 нет). Отсюда по индукции также (Л'/)пж = х. Легко видеть, что собственными векторами идемпотентной матрицы (Лу)п будут как отмеченные замечанием
1.6 столбцы этой матрицы, так и всевозможные их В-линейные комбинации, и что других собственных векторов у неё нет. Действительно (Ау)п ((Лу)гау) = (АР)пу для любого у = (гц : г — 1

1 а12 ... ап
• 0-2п
. Тогда х Е Р, если и только если Аух = х, т.е.
У аП1 &п2