Алгебры с нечеткими операциями

• Автор: Яхъяева, Гульнара Эркиновна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Алматы
• Количество страниц: 102 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ПЕРЕЧЕНЬ ТЕРМИНОВ
ВВЕДЕНИЕ
1. Обзор направлений теории ’’fuzzy”
2. Размытые порядки
2.1. Нечеткое отношение непосредственного следования
2.2. Размытые функции
2.3. Размытая арифметика
2.4. Размытый линейный порядок
3. Размытые группы
3.1. Нечеткие операции
3.2. Нейтральные и обратные элементы
3.3. Группы с нечеткими операциями
3.4. Структура размытой группы
3.5. Изоморфизм размытых групп
3.6. Гомоморфизмы и фактор-группы размытых групп
4. Практические приложения размытых алгебр
4.1. Размытая динамическая модель клеточного цикла
4.2. Лингвистические размытые модели
4.2.1. Алгоритм определения семантического поля данного слова
4.2.2. Двухязыковой словарь-переводчик
4.2.3. Многоязыковой словарь-переводчик
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ
ПЕРЕЧЕНЬ ТЕРМИНОВ
Гомоморфизм размытых групп
Гомоморфизм с тривиальным ядром
График размытой группы
Естественный гомоморфизм
Жесткий гомоморфизм
Изоморфизм размытых групп
Компактная операция
Коэффициент размытости
т — размытая функция
п — инъективная функция
п — сюръективная функция
Нечеткая единица
Нечетко обратный элемент
Показатель размытости
Размытая группа
Размытая операция
Размытая операция сложения
Размытая операция умножения
Размытый натуральный ряд
Родственный гомоморфизм
Скелетный гомоморфизм
Слабая ассоциативность
Слабая дистрибутивность
Слабая коммутативность
Структура размытой группы
Тождественный гомоморфизм
Целочисленный размытый ряд
Ядро гомоморфизма размытых групп

ВВЕДЕНИЕ
В свое время появление формальной логики было шагом вперед в борьбе с неопределенностью, расплывчатостью представления человеческих знаний, что приводило к непониманию между различными субъектами. Логика была призвана исключить не-строгость, неоднозначность из рассуждений. Теперь же возникла насущная необходимость создания теории, позволяющей формально описывать нестрогие, нечеткие понятия и обеспечивать возможность продвинуться в познании процессов рассуждений, содержащих такие понятия.
Анализируя конкретную систему, мы фактически рассматриваем выделенную нами часть более полной сложной системы. Само это выделение мы производим, поскольку не в состоянии охватить и достаточно компактно математически описать и исследовать все многообразие свойств полной системы. Выделяя подсистему, мы фактически вводим границы, которые на самом деле не существуют. Анализируя выделенную подсистему, мы не можем игнорировать ее связи с остальной частью более полной системы. Не имея возможности и средств точно описать все эти связи, мы используем либо свои собственные представления об этих связях, либо обращаемся за помощью к экспертам, которые этими представлениями обладают. Важно то, что эта информация чаще всего бывает выражена в понятиях, которые имеют нечеткий смысл с точки зрения классической математики.
В свете господствующего мнения, порожденного так называемой декартовой рационалистской методологией, традиционно существует тенденция отвергать такие термины, как неясность, неопределенность, нечеткость и неточность из-за их ненаучной или иррациональной концепции. Однако в реальном мире мы неминуемо сталкиваемся со множеством случаев, когда невозможно избежать проблемы учета неясной или неточной информации о сведениях, явлениях или событиях и т.п. Ситуация ухода от нечеткости существовала до 1965 года, когда Л. Заде предложил теорию нечетких множеств [1] - многообещающую теорию и технику для анализа и представления неясных или неточных понятий, используемых в утверждениях о событиях и фактах для описания отношений между объектами или действиями. Нечеткое множество
Для краткости записи, будем обозначать а ф Ь ~ с.
Определение 2.3.2 Под размытой операцией умножения будем понимать к-размытую функцию А : Ь X Ь —* Ъ, функция приоритета которой удовлетворяет условию
Vа, 6, с € Ь[цд(< а, Ь >; с) > 0 43> (а € £« Л 6 € Вт => с € Впто) ].
Для краткости записи, будем обозначать а О 6 ~ с.
Для операций, введенных таким образом, будут справедливы аналоги свойств коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности и закон сокращения.
Теорема 2.3.3 На структуре < Ь, ф, О > для любых элементов а, Ь, с, выполняются следующие свойства:
1. Слабая коммутативность:
а ф 6 ~ с 44> 6 ® а ~ с, а 06 2гс 6 0 а щ с.
Слабая ассоциативность:
Уж*, ж2[6 Ф с ~ Жх Л а ф 6 ~ ж2 Л (а ф Ж1 ~ 43- ж2®с~ с()],
Уж1? ж2[6 ©с~ЖхЛа0&~ж2Л(а©Ж1~с? 4=г- ж2 © с ~ с?)]. 5. Слабая дистрибутивность:
Уж, уг, у2[6 фс~жЛаОб~ухЛа©с~у2Ла©ж~о? =>
=Ф ф ?/2 - <4
Д Закон сокращения:
а ф с — Ь ф с =£ а ~ 6,
а©с=6©с =» а ~ 6,
Доказательство этих свойств тривиально, оно сводится к соответствующим свойствам натуральных чисел. Поэтому приведем доказательство только четвертого свойства.
Пусть а € Д,6 € Ят,с 6 Вп, для некоторых /, те, п € А". Возьмем некоторый элемент ж € Вя такой, что афс ~ ж. Это означает,